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Ensemble non mesurable dans un mesurable

Envoyé par PinkMan 
Ensemble non mesurable dans un mesurable
il y a deux années
Bonsoir

Comment peut-on démontrer que tout ensemble de mesure de Lebegues Lebesgue $>0$ contient un ensemble non mesurable ?

Merci.

[Henri Lebesgue (1875-1941) a droit au respect de son patronyme. AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Ensemble non mesurable dans un mesurable
il y a deux années
Il s'agit de montrer que si $A$ est mesurable de mesure strictement positive, alors il existe un rationnel $r$ tel que $A \cap (r+V)$ est non mesurable, où $V$ est l'ensemble de Vitali (un ensemble de représentants des classes à gauche de $\mathbb R/ \mathbb Q$). On a $$A = \bigcup_{r \in \mathbb Q} A \cap (r+V).$$ Si les $A \cap (r+V)$ étaient tous mesurables, et comme $\lambda(A) > 0$, on aurait au moins un rationnel $r$ tel que $\lambda(A \cap (r+V)) > 0$. Mais alors, d'après un lemme bien connu de Sierpinski, l'ensemble $$\{a-b \mid a, b \in A \cap (r+V)\}$$ contient un intervalle ouvert contenant $0$, ce qui est absurde car la différence de deux éléments distincts de $A \cap (r+V)$ est irrationnelle.

Je ne sais pas si on peut faire plus simple. Note que ton énoncé est faux en toute généralité dans ZF, ici j'ai utilisé l'axiome du choix pour avoir l'ensemble de Vitali.
Re: Ensemble non mesurable dans un mesurable
il y a deux années
avatar
Pour moi le lemme de Sierpinski s'appelle le théorème de Steinhaus, mais je ne sais pas à qui revient vraiment la paternité.
Re: Ensemble non mesurable dans un mesurable
il y a deux années
Merci beaucoup :)
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