Ensemble non mesurable dans un mesurable

Il s'agit de montrer que si $A$ est mesurable de mesure strictement positive, alors il existe un rationnel $r$ tel que $A \cap (r+V)$ est non mesurable, où $V$ est l'ensemble de Vitali (un ensemble de représentants des classes à gauche de $\mathbb R/ \mathbb Q$). On a $$A = \bigcup_{r \in \mathbb Q} A \cap (r+V).$$ Si les $A \cap (r+V)$ étaient tous mesurables, et comme $\lambda(A) > 0$, on aurait au moins un rationnel $r$ tel que $\lambda(A \cap (r+V)) > 0$. Mais alors, d'après un lemme bien connu de Sierpinski, l'ensemble $$\{a-b \mid a, b \in A \cap (r+V)\}$$ contient un intervalle ouvert contenant $0$, ce qui est absurde car la différence de deux éléments distincts de $A \cap (r+V)$ est irrationnelle.

Je ne sais pas si on peut faire plus simple. Note que ton énoncé est faux en toute généralité dans ZF, ici j'ai utilisé l'axiome du choix pour avoir l'ensemble de Vitali.