Mesure $\sigma$-additive inv par translation

Bah tu dis toi-même que tu cherches une mesure sur $\mathcal P(\mathbb R)$, alors $\mathcal B(\mathbb R)$ n'est pas $\mathcal P(\mathbb R)$ donc non ce n'est pas un exemple.

Une telle mesure est nécessairement un multiple positif de la mesure de Lebesgue (cf cette discussion récente http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,1731334 ). L'existence d'ensembles à la Vitali empêche cette mesure d'être définie sur tout $\mathcal P(\mathbb R)$ (j'imagine que tu travailles avec l'axiome du choix, encore une fois ton énoncé est faux dans certains modèles de ZF, cf. modèles de Solovay).