Convergence en loi de variables entières
Bonjour,
Soit $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de variables aléatoires et $X$ une variable aléatoire toutes à valeurs dans $\mathbb{N}$.
On suppose que $\forall k \in \mathbb{N}, P(X = k) = \displaystyle \lim_{n \to +\infty} P(X_n = k)$
Comment montrer que la suite de fonctions $(G_{X_n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement vers $G_X$ sur $[0, 1]$ où $G_Y(t) = \displaystyle \sum_{k \geq 0} P(Y = k) t^k$?
J'ai d'abord pensé à utiliser la suite de fonctions $f_n(m) = \sum_{k = 0}^{m} P(X_n = k) t^k$ et à utiliser le théorème de convergence dominée mais je ne trouve pas de mesure adaptée
Soit $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de variables aléatoires et $X$ une variable aléatoire toutes à valeurs dans $\mathbb{N}$.
On suppose que $\forall k \in \mathbb{N}, P(X = k) = \displaystyle \lim_{n \to +\infty} P(X_n = k)$
Comment montrer que la suite de fonctions $(G_{X_n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement vers $G_X$ sur $[0, 1]$ où $G_Y(t) = \displaystyle \sum_{k \geq 0} P(Y = k) t^k$?
J'ai d'abord pensé à utiliser la suite de fonctions $f_n(m) = \sum_{k = 0}^{m} P(X_n = k) t^k$ et à utiliser le théorème de convergence dominée mais je ne trouve pas de mesure adaptée
Réponses
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Bonjour,
Avec quel cadre théorique: plutôt L2 (sans théorie de l'intégration par rapport à une mesure) ou plutôt L3 ? -
Tu as la bonne idée, il suffit d'observer qu'une série à termes positifs n'est rien d'autre que l'intégrale d'une fonction positive pour la mesure de comptage. En particulier, le théorème de convergence dominé répond bien à cette question, en considérant plutôt $$f_n(m) = \mathbb P(X_n=m)t^m$$ (où $t$ est fixé à l'avance).
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On peut aussi noter que $G_Y(t)=E(t^Y)=\int_{\Omega} t^{Y(\omega)}\ dP(\omega)$.
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Bonjour!
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