Convergence en loi de variables entières

sevaus · November 2018

Bonjour,

Soit $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de variables aléatoires et $X$ une variable aléatoire toutes à valeurs dans $\mathbb{N}$.

On suppose que $\forall k \in \mathbb{N}, P(X = k) = \displaystyle \lim_{n \to +\infty} P(X_n = k)$

Comment montrer que la suite de fonctions $(G_{X_n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement vers $G_X$ sur $[0, 1]$ où $G_Y(t) = \displaystyle \sum_{k \geq 0} P(Y = k) t^k$?

J'ai d'abord pensé à utiliser la suite de fonctions $f_n(m) = \sum_{k = 0}^{m} P(X_n = k) t^k$ et à utiliser le théorème de convergence dominée mais je ne trouve pas de mesure adaptée

aléa · November 2018

Bonjour,

Avec quel cadre théorique: plutôt L2 (sans théorie de l'intégration par rapport à une mesure) ou plutôt L3 ?

Poirot · November 2018

Tu as la bonne idée, il suffit d'observer qu'une série à termes positifs n'est rien d'autre que l'intégrale d'une fonction positive pour la mesure de comptage. En particulier, le théorème de convergence dominé répond bien à cette question, en considérant plutôt $$f_n(m) = \mathbb P(X_n=m)t^m$$ (où $t$ est fixé à l'avance).

aléa · November 2018

On peut aussi noter que $G_Y(t)=E(t^Y)=\int_{\Omega} t^{Y(\omega)}\ dP(\omega)$.

sevaus · November 2018

@aléa: plutôt L3

@Poirot: Merci, les fonctions $f_n$ sont majorées en valeurs absolues par $g(m) = t^m$ sommable pour $t < 1$ (pour $t = 1$, $G_{X_n}(t) = 1 = G_{X}(t)$).

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