Variables aléatoires discrètes
Bonjour, j'ai petit problème en probabilité :
1) Soit $ p ~ \in ]0,1[$. On dispose d'une pièce amenant "pile" avec la probabilité p. On lance cette pièce jusqu'à obtenir pour la deuxième fois pile.
Soit X le nombre de face obtenus au cours de cette expérience.
Donc $X(w) = [n]$ et soit $\forall k \in X(w) ~ P(X = k) = (1-p)^{k-2} p² $ ? Est-ce juste ? Ou alors $P(X = k) =\binom{n-2}{k}~p².$
2) Question bonus : Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs réelles. Que dire si X est indépendante d'elle même.
Donc $ \forall A \subset \mathbb{R} ~ P(X \in A,X \in A) = P( \{\omega \in \Omega | X(w) \in A\} ) * P(( \{\omega \in \Omega | X(w) \in A\} ).$
Et $ \{\omega \in \Omega | X(w) \in A\} \cap \{\omega \in \Omega | X(w) \in A\} = \{\omega \in \Omega | X(w) \in A\}$
Je vous remercie
1) Soit $ p ~ \in ]0,1[$. On dispose d'une pièce amenant "pile" avec la probabilité p. On lance cette pièce jusqu'à obtenir pour la deuxième fois pile.
Soit X le nombre de face obtenus au cours de cette expérience.
Donc $X(w) = [n]$ et soit $\forall k \in X(w) ~ P(X = k) = (1-p)^{k-2} p² $ ? Est-ce juste ? Ou alors $P(X = k) =\binom{n-2}{k}~p².$
2) Question bonus : Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs réelles. Que dire si X est indépendante d'elle même.
Donc $ \forall A \subset \mathbb{R} ~ P(X \in A,X \in A) = P( \{\omega \in \Omega | X(w) \in A\} ) * P(( \{\omega \in \Omega | X(w) \in A\} ).$
Et $ \{\omega \in \Omega | X(w) \in A\} \cap \{\omega \in \Omega | X(w) \in A\} = \{\omega \in \Omega | X(w) \in A\}$
Je vous remercie
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Réponses
Pour la question bonus, tu as justement remarqué que
- l'événement $\{X\in A\}$ (souvent noté $X^{-1}(A)$) était toujours égal à l'intersection $\{X\in A\}\cap\{X\in A\}$ : que peux-tu dire des probabilités $P\bigl(\{X\in A\}\cap\{X\in A\}\bigr)$ et $P\bigl(\{X\in A\}\bigr)$ ?
- si $X$ est indépendante d'elle-même, alors $P\bigl(\{X\in A\}\cap\{X\in A\}\bigr)=P\bigl(\{X\in A\}\bigr)^2$.
Que peux-tu en déduire sur $q=P\bigl(\{X\in A\}\bigr)$ ? Quelles valeurs peut-elle prendre ?Cas 1 : Ce n'est pas ça, car c'est la probabilité d'obtenir k-1 échecs puis 2 succès, ce chemin est unique sur l'arbre des probabilités de cette expérience.
Cas 2 : Intuitivement ce n'est pas ça, car le calcul de l’espérance n'est pas évident.
Cependant, il s’agit d’une expérience aléatoire qui a deux issues possibles (p ou f) et qui est répétée à l’identique. De plus, les épreuves sont indépendantes, il n'y pas n épreuves fixées, le jeu continue jusqu'à avoir au moins 2 succès....
Question bonus : Merci X = X², on montre par l'absurde que c'est une variable aléatoire telle qu'il existe $ \exists a \in X(w)~ P(X=a) = 1. $
Comme d'habitude, si on n'introduit pas des noms pour désigner les objets, on ne sait rien dire. Appelons $M$ la variable aléatoire qui donne le nombre de lancers qu'il a fallu faire pour obtenir le premier « pile » et $N$ la variable aléatoire qui donne le nombre de lancers qu'il a fallu faire pour obtenir le deuxième « pile ». Le nombre de « face » est $N-2$.
Avant d'étudier $N$, regardons un peu $M$. Fixons un entier $k$. Pour avoir $M=k$, il est nécessaire et suffisant que le premier jet ait donné « face » et le dernier ait donné « pile » : avec l'hypothèse d'indépendance des jets entre eux, cela arrive avec probabilité égale à...
Ensuite, on étudier $N$. Pour cela, on fixe un entier $n$. On découpe l'événement $N=n$ (le deuxième « pile » arrive au $n$-ième lancer) selon la valeur de $M$, qui prend toutes les valeurs de $1$ à $n-1$. Il faut donc faire la somme pour $k$ variant de $1$ à $M$ des produits (toujours l'indépendance) des probabilités que $M=k$ et que $N-M=n-k$. Or l'événement $N-M=k$ a la même probabilité que l'événement $M=n-k$ (pourquoi ?). Etc. On a fait, au choix, une somme de deux v.a.i. de même loi ou une convolution (de quoi ?).
Pour la question bonus, ça ne va pas : la variable $X$ n'a absolument aucune raison d'être égale à son carré, tu fais une confusion entre variable aléatoire et probabilité. D'autre part, il n'est pas du tout utile de faire un raisonnement par l'absurde. Enfin, je ne comprends à nouveau pas qui est $w$, ni qui peut appartenir à $X(w)$ qui peut être par exemple un entier ou un réel. Bref, ça n'a plus grand sens. Pourtant, il y a quelque chose qui est égal à son carré. Note que l'équation $x^2=x$ n'a pas qu'une seule solution.