Comatrice loi normale
Bonjour,
Je ne comprends pas bien ce que c'est que l'écart type pour un loi normale multivariée. Je vois souvent écrit $\Sigma^{1/2}$ mais je ne comprends pas cette notation.. En effet, $\Sigma$ est la matrice de covariance donc une matrice et les puissances 1/2 pour les matrices je ne connais pas.
Pouvez-vous m'éclairer ?
Merci
Je ne comprends pas bien ce que c'est que l'écart type pour un loi normale multivariée. Je vois souvent écrit $\Sigma^{1/2}$ mais je ne comprends pas cette notation.. En effet, $\Sigma$ est la matrice de covariance donc une matrice et les puissances 1/2 pour les matrices je ne connais pas.
Pouvez-vous m'éclairer ?
Merci
Réponses
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La matrice de covariance est toujours une matrice symétrique positive. Dans le cas où celle-ci est définie positive, elle admet une unique racine carrée symétrique définie positive, c'est une conséquence du théorème spectral qui permet de la diagonaliser en base orthonormée. On note alors $\Sigma^{1/2}$ cette unique matrice $M$ qui vérifie $$M^2 = \Sigma.$$
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$\Sigma^{1/2}$ est l'unique matrice symétrique définie positive dont le carré est la matrice symétrique définie positive $\Sigma.$ Dans les cours d’algèbre linéaire bien faits si $I$ est un intervalle réel et si $f$ est une fonction réelle sur $I$ alors pour toute matrice symétrique réelle $ A$ dont toutes les valeurs propres $\lambda_k$ sont dans $I$ on définit $ f(A)$ ainsi : soit $A=U^TDU$ avec $U$ orthogonale et $D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ soit $f(D)=\mathrm{diag}\big(f(\lambda_1),\ldots,f(\lambda_n)\big).$ On démontre alors que $$ f(A)=U^Tf(D)U $$ ne dépend pas du choix de $(U,D)$. Tu remarqueras que si $g$ est aussi définie sur $I$ et si $h=fg$ alors $h(A)=f(A)g(A).$
Le cas dont tu as besoin est $I=]0,\infty[$ et $f(x)=\sqrt{x}.$ -
Ca marche !
Merci beaucoup !!! -
Cher Poirot, certains vecteurs gaussiens on des covariances positives mais non definies positives.
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Heu...
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C'est mieux ?
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Bonjour!
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