Limite d'une suite

Bonjour,
Je ne connais quasiment aucun théorème d'intégration, mais ce qui suit, avec la mesure de Lebesgue, me parait convenir.
On remarque que:$\forall n \in \N^*, \forall x\in ]0;1[,\:\: x^n<x$ et la croissance de $f$ entraine alors $g_n(x)\leqslant f(x).$
$f$ est positive donc je peux définir $m: =\inf\{f(x) \mid x \in ]0;1[\}$
Soit $\varepsilon \in ]0;1[$. $f$ est croissante, donc $\exists \eta$ tel que $0<\eta<\varepsilon$ et $\:\forall x \in ]0; \eta],\:\: m\leqslant f(x)\leqslant m+\varepsilon \:\:\:\:(\star)$
$f$ est positive et intégrable sur $]0 ;1[$ donc $\exists \alpha \in ]0; \varepsilon[ $ tel que $\displaystyle{\int_{J} f < \varepsilon} \:\:(\star\star) \:\:$ où je note: $I = ]0 \:;\: 1-\alpha]$ et $J = [1-\alpha \:; \:1[$
D'autre part, $\exists N \in \N$ tel que: $n\in \N\:$ et $\: n>N \implies (1-\alpha)^n <\eta\:$. Ainsi: $\:\:\: x\in I$ et $\:n>N \implies 0\leqslant x^n <\eta\:\:\:\:(\star\star\star)$
Les inégalités $(\star)$ et $(\star\star\star)$, la croissance de $f$, impliquent que: $\forall x\in I,\:\: n>N \implies m\leqslant f(x^n) <m+\varepsilon$
On déduit alors: $\displaystyle{m(1-\varepsilon) \leqslant m(1-\alpha)\leq\int_I g_n\leqslant m+ \varepsilon}$ et avec $(\star\star)\:\:\: 0\leqslant \displaystyle{ \int_J g_n \leqslant \int_ J f <\varepsilon}$, ce qui entraine:
$\forall \varepsilon >0,\:\: \exists N \in \N$ tel que $\:\forall n >N,\:\:\: -m\varepsilon \leqslant (\displaystyle{\int_{]0;1[ } g_n )-m \leqslant 2\varepsilon}$. On a ainsi prouvé $\:\:\:\boxed{\displaystyle{ \lim_{n\to +\infty }\int_{]0;1[} g_n =m}}$