Montées de martingale

Bonjour,

Soit $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ un processus réel.
Soit $a < b$ deux réels.

On définit une suite croissante de temps d'arrêt par $T_0 := 0$ et $\forall k \in \mathbb{N}^{*}$,

$T_{2k - 1} := \displaystyle \inf \{{m > T_{2k - 2}, X_m \leq a}\}$
$T_{2k} := \displaystyle \inf \{{m > T_{2k - 1}, X_m \geq b}\}$.

J'arrive à me convaincre que $\forall k \in \mathbb{N}^{*}$, $T_{2k}$ est l'instant pour lequel on monte le long du segment $[a, b]$ pour la $k$ème fois mais je peine à comprendre pourquoi $M_n := \displaystyle \sup \{k \in \mathbb{N}^{*}, T_{2k} \leq n \}$ est le nombre de montées avant l'instant $n$.

De plus, $(M_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante donc converge disons vers $M$; comment peut-on montrer que $M$ est le nombre total de montées le long de $[a, b]$ par le processus $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$?