Espérance conditionnelle

Salut à tous !
Je suis bloqué sur deux exercices.

1) Une suite de v.a à valeur dans $[0;1]$ avec $X_{0} = a$ toujours en $[0;1]$. On a $P(X_{n+1} = \frac{X_{n}}{2} \mid F_{n}) = 1- X_{n}$ et $P(X_{n+1} = \frac{X_{n}+1}{2} \mid F_{n}) = X_{n}$
Pour calculer $E(X_{n+1} \mid F_{n})$ on a envie de dire que conditionnellement à $F_{n}$ la tribu canonique du processus, $X_{n+1}$ ne prend que deux valeurs.
Mais la formalisation que j'ai trouvée ne permet pas de rendre compte de ce fait, moi j'ai dit $ 1 = E(1_{A \cup B} \mid F_{n})$ avec $A = (X_{n+1} = \frac{X_{n}}{2})$ et $B=(X_{n+1} = \frac{X_{n}+1}{2}) $.
Mais lors du calcul vous remarquez qu'on obtient simplement $E(X_{n+1} \mid F_{n}) = E(X_{n+1} \mid F_{n})E(1_{A \cup B} \mid F_{n})$ ce qui n'est pas suffisant pour changer le $X_{n+1}$ en une fonction de $X_{n}$.
Ainsi comment feriez-vous, vous, pour traduire cette idée et résoudre l'exercice ?