Temps d'attente au rendez-vous

Michel74160
Michel74160
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour à tous
Je suis nouveau sur ce forum, voilà mon énigme.

"2 personnes se donnent rendez-vous entre 12h et 13h. Quel sera le temps d'attente (en minutes) de la première personne arrivée ?"

Via l'informatique et de façon empirique, j'ai utilisé un algorithme basé sur une boucle avec génération aléatoire (0,60), qui me donne au final un temps moyen d'attente de 20 minutes.

Scientifiquement (probas, stats, ...), y a-t-il une formule mathématique permettant d'arriver à ce résultat ?
Merci d'avance.

Réponses

  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    La première personne attendra zéro minutes parce que la deuxième, étant bien élevée, arrivera à midi pile.
  • Math Coss
    Math Coss
    Je dirais \[ \iint_{[0,1]^2}\bigl(\max(x,y)-\min(x,y)\bigr)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=2\int_0^1\left(\int_0^x(x-y)\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x=\frac13,\]ce qui est conforme aux 20 min que tu as trouvées.
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Je ne suis pas d'accord avec la réponse de Math Coss.
    Il y a quatre cas à considérer. Disons que les deux personnes s'apellent respectivement Léa et Léo.
    Ou bien les deux sont bien élevées, et arriveront donc toutes deux à midi ---> zéro minute d'attente.
    Ou bien Léa est bien élevée et Léo est un gougnaffier et arrivera donc à une heure ---> soixante minute d'attente pour Léa.
    Ou bien Léa est une gougnaffière et Léo est bien elevé ---> soixante minute d'attente pour Léo
    Ou bien ce sont deux gougnaffiers et ils arriveront donc tous deux à une heure ---> zéro minute d'attente.
    En moyenne on obtient donc (0+60+60+0)/4=30 minutes d'attente.
  • Math Coss
    Math Coss
    Effectivement, si nous ne nous mettons pas d'accord sur les hypothèses, il y a peu de chances que nous le soyons sur le résultat.
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Vu que l'auteur ne précise pas ses hypothèses, il n'y a qu'une seule chose à faire: l'expèrience. À demain, donc, entre midi et une heure!
  • Michel74160
    Michel74160
    Le problème était bien posé.

    Merci à Math Coss pour sa réponse précise.

    Et merci au Roi d'Ock .... pardon Shah d'Ock pour son humour.

    PS : je ne suis pas un Gibi
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Oups j'ai oublié notre rendez-vous, j'espère que tu ne m'a pas attendu trop longtemps!

    Le problème était bien posé.

    Alors ça, ça me scie!!!
    Tu ne précise pas que tu te places dans un cadre probabiliste. Bon passe encore, c'est la rubrique proba, on peut l'inférer.
    Tu ne donnes aucune information sur tes variables aléatoires: sont-elles indépendantes? Quelle est leur loi? Si tu ne le précises pas, la question n'est pas bien posée.
    Et surtout tu demandes quel sera le temps d'attente de la première personne, et non pas l'espérence du temps d'attente. En l'état de la question, la seule réponse mathématique c'est "on ne peut pas savoir".
  • Math Coss
    Math Coss
    D'accord avec Shah d'Ock : non, le problème n'était pas bien posé et ma réponse n'est pas précise puisqu'elle n'explicite pas les hypothèses manquantes ni la nature de la réponse – ce que vient de faire le Shah.
  • P.
    P.
    Bon bref, il s'agit de trouver la loi de $|X-Y|$ si $X$ et $Y$ sont independantes et unifomes sur $[0,1.]$ Pour cela on dessine ce que l'evenement $| X-Y|>s$ a comme representant dans le carre $[0,1]^2$ 'muni de la mesure de Lebesgue'. Il est represente par deux triangles rectangles isoceles et la somme de leurs aires est $(1-s)^2$ Donc la densite de $S=|X-Y|$ sur $[0,1]$ est $2(1-s)$ (de moyenne $\int_0^1 2s(1-s)ds=1/3$ bien entendu.
  • Michel74160
    Michel74160
    Mea Culpa.
    J'aurais du indiquer "temps moyen d'attente" ou "espérance (avec un A) de temps d'attente".
    Je transcrivais simplement une énigme qui m'avait été posée.

    En revanche, j'ai du mal à comprendre ce que j'aurais dû rajouter dans ma question initiale à propos des variables aléatoires, leur indépendance et leur loi ?
    - l'un a une montre et pas l'autre ?
    - l'un boite et pas l'autre ?
    - comment sont-il vêtus ?
    - l'un est sportif, l'autre pas ?
    - sont-ils de même sexe ou de sexe opposés ?
    - sont-ils jumeaux ?
    ...

    Je reconnais tout à fait ne pas avoir le niveau de compréhension et de connaissances des intervenants de ce forum et j'accepte toutes les remarques constructives et dites sans être méprisant.
    Merci à ceux qui m'ont indiqué les formules afin d'arriver au résultat, ce qui valide l'approche obtenue via mon algorithme.
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour Michel74160.

    En fait, on ne sait traiter ce genre de problème qu'avec des hypothèses précises sur la façon dont ils peuvent arriver. L'hypothèse classique "sans connaissances préalable" est qu'ils arrivent "au hasard", à n'importe quel instant de l'heure : L'hypothèse d'équiprobabilité des arrivées, que P. a utilisée dans son message ci-dessus. D'autres sont possibles, par exemple qu'ils arrivent dans ce genre de circonstance aux alentours de 12h30, avec une erreur distribuée de façon Normale avec un écart type de 5 mn. Ou autre chose, par exemple les suppositions de Shah d'Ock; quant aux suppositions que tu proposes, il reste à modéliser leur influence sur l'heure d'arrivée.

    Morale : Ne jamais poser aux mathématiciens une énigme de "bon sens", il prennent (c'est leur métier) les mots au sens exact, et donc demandent toujours les compléments de compréhension nécessaires. Ou alors, mathématiser complétement l'énigme (celle-ci est un classique des probas, une fois rédigée correctement).

    Cordialement.
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Bonjour Michel,
    Étant donné une variable aléatoire, ne pas préciser sa loi ne revient pas à supposer qu'elle suit une loi uniforme. Connais-tu le paradoxe de Bertrand?
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