Une intégrale mesurable
Bonjour,
Soit $(X,M,\mu)$ un espace mesuré et $f:X \times [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$. On suppose que la fonction partielle $t \mapsto f(x,t)$ est continue sur $[a,b]$, pour tout $x \in X$ fixé.
On considère la fonction $h:X \times [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ définie par $$
h(x,t)= \int_a^{t} f(x,s) ds
$$ Montrer que $h:x \mapsto h(x,t)$ est mesurable sur $X$ pour tout $t \in [a,b]$ fixé.
Alors le prof a utilisé la continuité de $f$ sur $[a,b]$ pour dire que $f$ est Riemann-intégrable donc $$h(x,t)= \int_a^{t} f(x,s) ds= \lim \sum\nolimits_{Riemann}
$$ et comme la somme de Riemann est mesurable donc $h$ est aussi mesurable.
P.S. Je savais que la somme de fonctions Riemann-intégrable converge vers l'intégrale mais je ne comprends pas pourquoi $ \lim \sum_{Riemann}$ est mesurable ?
Soit $(X,M,\mu)$ un espace mesuré et $f:X \times [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$. On suppose que la fonction partielle $t \mapsto f(x,t)$ est continue sur $[a,b]$, pour tout $x \in X$ fixé.
On considère la fonction $h:X \times [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ définie par $$
h(x,t)= \int_a^{t} f(x,s) ds
$$ Montrer que $h:x \mapsto h(x,t)$ est mesurable sur $X$ pour tout $t \in [a,b]$ fixé.
Alors le prof a utilisé la continuité de $f$ sur $[a,b]$ pour dire que $f$ est Riemann-intégrable donc $$h(x,t)= \int_a^{t} f(x,s) ds= \lim \sum\nolimits_{Riemann}
$$ et comme la somme de Riemann est mesurable donc $h$ est aussi mesurable.
P.S. Je savais que la somme de fonctions Riemann-intégrable converge vers l'intégrale mais je ne comprends pas pourquoi $ \lim \sum_{Riemann}$ est mesurable ?
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Réponses
Ensuite, une somme de Riemann dans ce contexte est $$x \mapsto \frac{1}{N+1}\sum_{k=0}^{N} f\left(x, a+k \frac{b-a}{N}\right),$$ qui est bien mesurable comme somme finie de fonctions mesurables. Ensuite, une limite simple de fonctions mesurables est mesurable.
$$
h(x,t)= \int_a^{t} f(x,s) ds
$$
Si $ h$ est une application sur $X$ à valeurs dans $\R$ non mesurable et $f(x,t)=h(x)t$
X:-(