Probabilité d’un intervalle
Bonjour, s'il vous plaît pouvez-vous me donner une piste pour résoudre cet exercice.
Soit $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de v.a.r qui converge en loi vers une v.a.r $X$. Soient deux suites réelles $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ de limites respectives $u_0$ et $v_0$ avec $u_0\leq v_0$ et $P(X=u_0)=P(X=v_0)=0.$
Prouver qu'on a alors : $$\lim_n P(X_n \in [u_n,v_n])=P(X \in [u_0, v_0]).
$$ J'ai essayé d'écrire $P(X_n \in [u_n,v_n])=P(X_n \leq v_n)-P(X_n < u_n)$ est de vérifier que ces deux derniers termes convergent respectivement vers $P(X \leq v_0)$ et $P(X < u_0),$ mais je n'ai pas su comment utiliser la convergence des fonctions de répartition aux points de continuités $u_0$ et $v_0$.
Merci.
Soit $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de v.a.r qui converge en loi vers une v.a.r $X$. Soient deux suites réelles $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ de limites respectives $u_0$ et $v_0$ avec $u_0\leq v_0$ et $P(X=u_0)=P(X=v_0)=0.$
Prouver qu'on a alors : $$\lim_n P(X_n \in [u_n,v_n])=P(X \in [u_0, v_0]).
$$ J'ai essayé d'écrire $P(X_n \in [u_n,v_n])=P(X_n \leq v_n)-P(X_n < u_n)$ est de vérifier que ces deux derniers termes convergent respectivement vers $P(X \leq v_0)$ et $P(X < u_0),$ mais je n'ai pas su comment utiliser la convergence des fonctions de répartition aux points de continuités $u_0$ et $v_0$.
Merci.
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Réponses
Je veux dire par le théorème de Levy, le corollaire (ma faute), concernant la convergence simple des fonctions caractéristique.
Le lemme de Slutsky, on le vérifie, en utilisant en utilisant ce corollaire (bien sur, il y a d'autres façons en utilisant par exemple les fonctions continues à support compact...)
En cherchant l'internet, j'ai trouvé un exercice similaire à ma question, où l'hypothèse est plus fort: il a supposé que la fonction de répartition est continue partout,
Lou16 a proposé la méthode classique. Voici le courriel :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,1650288,1653292
Pensez-vous qu'on peut appliquer cette méthode sous l'hypothèse que $F_X$ soit continue en $u_0$ et $v_0$?