Proba conditionnelle

Yassine · December 2018

Bonjour à tous,
Il y a déjà eu quelque posts sur ce sujet, mais je voulais exposer un petit problème de manque d'intuition que j'ai sur la probabilité conditionnelle.

Je me donne une v.a. discrète $X$, disons pour fixer les idées, le numéro sur un dé à six faces.
Je souhaite calculer l'espérance conditionnelle $Y=\mathbb{E}[X \mid X=1]$.

Disons qu'en passant par la sigma algèbre $\sigma(\{X=1\})=\{\emptyset,\Omega, \{X=1\},\{X=1\}^c\}$, que $Y$ est mesurable par rapport à $\sigma(\{X=1\})$, et que $\mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[X]$, je vois comment calculer $Y$.

Le souci que j'ai, c'est avec l'interprétation "espérance de $X$, sachant que $X$ vaut $1$", j'ai envie de répondre $1$ !!

Blacksheep1 · December 2018

Dans l'espace Hilbertien $L^{2}(A,P)$où $A$ est la tribu de départ, l'espérance conditionnelle de $X$ sachant une sous-algèbre $F\subset A$ est la va projection orthogonale de $X$ sur l'espace $L^{2}(F,P)$.
Elle est donc PAR DÉFINITION, $F$-mesurable.
Si comme dans ton cas, tu prends $F=\sigma(X)$ la tribu engendrée par $X$, alors par le théorème de Doob, il existe $\phi$ borélienne réelle telle que cette espérance conditionnelle s'écrive $\phi(X)$.
Et ce que l'on écrit parfois $E(Y\mid X=1)$ n'est rien d'autre que $\phi(1)$.
Problème : $\phi$ n'est définie que de façon ps...
Donc ça n'a pas de sens, contrairement au cas discret !
Et de plus, ce n'est pas une va mais un nombre.

En espérant t'avoir été utile !

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