Théorème de convergence monotone 1

kouassi · December 2018

Bonjour à tous je m'exerce un peu sur l'application des théorèmes de mon cours de mesure et intégration de niveau L3
et j'ai besoin d'un coup de main pour la résolution de certains exercices.
En voici un:
soit $\mu$ une mesure sur $(X,\mathcal{T})$ et $f : X \longrightarrow\ \overline{\mathbb{R}_{+}}$ une application mesurable.
(a) Soit $A= \{ x \in X \ | \ f(x)\ge 1 \}$. Déterminer $\displaystyle\lim\limits_{n\mapsto \infty}\int_{A} f^{n}d\mu$.
(b) On suppose $\int_{X} fd\mu<+\infty$. Déterminer $\displaystyle\lim\limits_{n\mapsto \infty}\int_{A^{\mathcal{c}}} f^{n}d\mu$.

Solution que je propose:

(a)
$\ \ \ \forall x\in A \ \ \ f(x)\ge 1$ alors $\ f^{n+1}(x)\ge f^{n}(x)$ donc $f^{n}$ est une suite croissante de fonctions définies sur $A$, mesurables positives .
-Si $f^{n}$ converge vers une fonction $f$ alors d'après le théorème de convergence monotone
$\displaystyle\lim\limits_{n\mapsto \infty}\int_{A} f^{n}d\mu = \int_{A} fd\mu $.
-Si $f^{n}$ ne converge pas elle tend donc vers $+\infty $ et par suite en usant du lemme de Fatou on conclut que
$\displaystyle\lim\limits_{n\mapsto \infty}\int_{A} f^{n}d\mu = +\infty$.

(b) Là je bloque complètement.
Merci de bien vouloir m'aider

Math Coss · December 2018

Si $q$ est un réel positif, quelle est la limite de la suite $(q^n)_{n\in\N}$ ? Tu dois pouvoir répondre à cette question ! Note que la réponse dépend de $q$.

Fixe $x$ et applique ça à la suite $\bigl(f(x)^n\bigr)_{n\in\N}$. Note qu'appeler $f$ la limite de la suite $(f^n)_{n\in\N}$, ce n'est pas une notation inadéquate, c'est une erreur mathématique : cela signifie que $\lim_{n\to\infty}f(x)^n=f(x)$ pour tout $x$ de $A$, et c'est faux en général.

Ainsi, ta dichotomie est : soit la suite $(f^n)$ converge vers la fonction $f$ (le symbole est fixé depuis le début), soit la suite $(f^n)$ diverge. Cette dichotomie est fausse en général.

kouassi · December 2018

Effectivement c'est une erreur mathématique et je ne m'en suis pas rendu compte... Merci .
Pour la limite de la suite $(q^n)_{n\in\N}$ on a:
$\displaystyle\lim\limits_{n\mapsto \infty} q^n=0$ si $q \in [0,1[$
$\displaystyle\lim\limits_{n\mapsto \infty} q^n=1$ si $q=1$
$\displaystyle\lim\limits_{n\mapsto \infty} q^n=+\infty $ si $ q\in ]1,+\infty [$
En l'appliquant à $f$ j'obtiens: $\lim_{n\to\infty}f(x)^n=+\infty$ si $f>1$ et par le lemme de Fatou on a:
$\displaystyle\lim\limits_{n\mapsto \infty}\int_{A} f^{n}d\mu = +\infty$ quand $f>1$.
Comme $\displaystyle\int_{A}f^{n}d\mu =\int_{\{f=1\}}f^{n}d\mu + \int_{\{f>1\}}f^{n}d\mu = \int_{\{f=1\}} d\mu + \int_{\{f>1\}}f^{n}d\mu = \mu (\{f=1\}) + \int_{\{f>1\}}f^{n}d\mu $
alors après passage à la limite on obtient:

$\displaystyle\lim\limits_{n\mapsto \infty}\int_{A} f^{n}d\mu = \mu (\{f=1\}) + (+\infty) = +\infty$
Est ce correct ?

kouassi · December 2018

J'ai encore une préoccupation pour la question (b)
Voici mon raisonnement:
$A^{\mathcal{c}} = \{ x \in X \ | \ f(x) < 1 \}$
pour $x \in A^{\mathcal{c}} $ , $\lim_{n\to\infty}f(x)^n = 0$ et $f(x)^{n+1} < f(x)^n $ .
Donc $f^n$ est une suite décroissante de fonctions mésurables positives qui converge simplement vers la fonction nulle sur $A^{\mathcal{c}}$ mais dans ce cas comment appliquer le théorème de convergence monotone qui ne fait cas que de suites croissantes ? Peut-on permuter l'intégrale et la limite même si la suite est décroissante ?
Si oui on obtiendrait: $\displaystyle\lim\limits_{n\mapsto \infty}\int_{A^{\mathcal{c}}} f^{n}d\mu = 0$.
Voici mes préoccupations ! Aidez moi

Poirot · December 2018

Ta réponse à a) ne peut pas être correcte : si $\mu(A)=0$ tu penses tout de même que $$\displaystyle\lim\limits_{n\mapsto \infty}\int_{A} f^{n}d\mu = +\infty \,?$$ Le mieux est de distinguer le cas $\mu(A)=0$, qui est évident, et $\mu(A) > 0$, qui se traite essentiellement comme tu l'as fait.

Pour b) pense plutôt au théorème de convergence dominée.

Math Coss · December 2018

J'ai du mal à donner un sens aux phrases : « $ \lim_{n\to\infty}f(x)^n=+\infty$ quand $f>1$ » et « $\lim_{n\to\infty}\int_Af^nd\mu=+\infty$ quand $f>1$ ». Dans la première, la première partie contient un $x$ alors que la deuxième partie, non. Dans la deuxième, on a l'impression qu'il y a deux cas : sois $f>1$ partout, soit on ne sait pas répondre.

Cela donne l'impression que le rôle de $x$ (variable libre dans la première phrase, muette dans la deuxième (si on considère que $f>1$ signifie $\forall x,\ f(x)>1$)) est un peu confus.

kouassi · December 2018

ok

kouassi · December 2018

C'est vrai... Je souhaitais répondre au plus vite et comme j'ai du mal avec latex (ça me prend un temps fou pour taper quelques lignes) j'ai abrégé les ensembles que voici
$\{f>1\}$ = $\{ x \in X \ | \ f(x) >1 \} $ et $\{f=1\}$ = $\{ x \in X \ | \ f(x) =1 \} $

Merci Poirot pour ta remarque ça me passait sous le nez ... En effet:
-Si $\mu(A)=0$ alors l'intégrale sur $A$ vaudra zéro et sa limite aussi
-Si $\mu(A) >0$ alors $\mu(\{f>1\})>0$ ou $\mu(\{f=1\}) > 0 $ dans ce cas si $\mu(\{f>1\})=0$ alors $\mu(\{f=1\}) > 0 $ et la limite vaudra $\mu(\{f=1\})$ sinon elle vaudra $+\infty$

Pour (b) comme la suite $f^n$ de fonctions mesurables converge vers la fonction nulle sur $A^{\mathcal{c}}$
de plus $\forall x \in A^{\mathcal{c}}$ et $n \in \N $ , $|f(x)^{n}| \le f(x)$ et $\int_{X} fd\mu<+\infty $.
Alors le théorème de convergence dominée permet de conclure que $\displaystyle\lim\limits_{n\mapsto \infty}\int_{A^{\mathcal{c}}} f^{n}d\mu = 0$

MERCI A TOUS

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