Convergence d'une loi uniforme discrète
Bonjour,
j'ai une question peut-être absurde mais je ne comprends pas la logique derrière.
Dans certains de mes exercices on me demande de montrer qu'une loi uniforme discrète converge en loi vers une loi discrète continue.
Donc en utilisant la fonction de répartition et en la faisant tendre vers 00 je devrais trouver la fonction de répartition pour la loi uniforme continue or :
exemple
Xn suit une loi uniforme discrète { 1/(n+2), ..., (n+1)/(n+2) }
je trouve que sa fct fonction de répartition est : FXn(t) = [t - (1 /(n+1) + 1] / [(n+1)(n+2) - (1/(n+1)) + 1] pour (n+1)/(n+2) > t > 1 / (n+1)
(car d'après wikipédia, la fct fonction de répartition d'une loi uniforme discrète est (t - a) / n avec n = b - a + 1 telle que le support k appartient {a, a+1, ..., b-1, b}).
Je dois montrer que Xn converge vers [0,1].
Or si je fais tendre n vers 00, FXn(t) tend vers (t + 1)/ 2
(ce qui diffère de la fct fonction de répartition d'une loi uniforme continue qui est (t - a) / (b- a), soit (t + 1) / 2 dans l'exemple).
Et pour différents exemples que j'ai pu tester à chaque fois il faut que j'enlève -1 aux constantes pour trouver la bonne convergence, dans l'exemple : [t + 1 + (-1)] / [2 + (-1)].
Serait-il possible de m’expliquer pourquoi ?
Merci bien.
PS. Veuillez m'excuser pour la présentation des calculs, je ne sais pas comment les rendre lisibles.
j'ai une question peut-être absurde mais je ne comprends pas la logique derrière.
Dans certains de mes exercices on me demande de montrer qu'une loi uniforme discrète converge en loi vers une loi discrète continue.
Donc en utilisant la fonction de répartition et en la faisant tendre vers 00 je devrais trouver la fonction de répartition pour la loi uniforme continue or :
exemple
Xn suit une loi uniforme discrète { 1/(n+2), ..., (n+1)/(n+2) }
je trouve que sa fct fonction de répartition est : FXn(t) = [t - (1 /(n+1) + 1] / [(n+1)(n+2) - (1/(n+1)) + 1] pour (n+1)/(n+2) > t > 1 / (n+1)
(car d'après wikipédia, la fct fonction de répartition d'une loi uniforme discrète est (t - a) / n avec n = b - a + 1 telle que le support k appartient {a, a+1, ..., b-1, b}).
Je dois montrer que Xn converge vers [0,1].
Or si je fais tendre n vers 00, FXn(t) tend vers (t + 1)/ 2
(ce qui diffère de la fct fonction de répartition d'une loi uniforme continue qui est (t - a) / (b- a), soit (t + 1) / 2 dans l'exemple).
Et pour différents exemples que j'ai pu tester à chaque fois il faut que j'enlève -1 aux constantes pour trouver la bonne convergence, dans l'exemple : [t + 1 + (-1)] / [2 + (-1)].
Serait-il possible de m’expliquer pourquoi ?
Merci bien.
PS. Veuillez m'excuser pour la présentation des calculs, je ne sais pas comment les rendre lisibles.
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Réponses
Pas de contradiction, ici.
Mais la fonction de répartition de la loi uniforme sur [0;1] est $t\mapsto t$ pour $0\le t \le1$.
Et la fonction de répartition de ta loi discrète est, en notant N la partie entière de $\frac{t}{n+2}$
$F_n(t) = \sum\limits_{k=1}^N \frac{k}{n+2} = \frac 1 {n+2}\sum\limits_{k=1}^N n = \frac{N(N+1)}{2(n+2)}$
Qui n'est pas ce que tu annonces !!
Cordialement.
NB : On dirait que c'est toi qui ajoutes les 1 en trop : " FXn(t) = [t - (1 /(n+1) + 1] / [(n+1)(n+2) - (1/(n+1)) + 1]". Mais comme je ne vois pas d'où tu sors cette fonction continue sur [0;1] alors que la fonction de répartition de Xn est discontinue, inutile d'épiloguer.
@Gerard0
Tu as écrit que : $\forall t \in [0;1],\:\: F_n(t) = 0 $ (car $N= \big\lfloor\dfrac t{n+2}\big\rfloor =0$). Et si, comme cela est sûrement le cas, il y a la coquille "$N=\big\lfloor \dfrac t{n+2}\big\rfloor$ à la place de $N=\big \lfloor (n+2)t \big\rfloor$", l'expression que tu donnes de $F_n(t)$ demeure néanmoins inexacte.
@Baring
Il me semble que: $\forall x \in \R, \:\: F_n(x) =\Pr(X_n\leqslant x)= \left\{ \begin{array}{cl} 0&\text{si} \:\; x\leqslant 0\\ \dfrac{\big\lfloor (n+2)x\big\rfloor }{n+1} & \text{si}\: \: 0 \leqslant x <1\\ 1& \text {si} \:\: x\geqslant 1 \\ \end {array} \right.\:\: $ où $\lfloor .\rfloor$ désigne la "partie entière",
de sorte que: $\forall x \in [0;1], \:\: \dfrac {(n+2)x-1}{n+1}\leqslant F_n(x) \leqslant \dfrac {(n+2)x}{n+1}\:\:$. Avec $\:\:\lim\limits_ {n\to + \infty} \dfrac {(n+2)x-1}{n+1} = \lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{(n+2)x}{n+1} = x$, on obtient alors:
$\forall x\in \R, \:\lim\limits_{n \to + \infty} F_n (x) =F(x)\:\: $ où $F$ est la fonction de répartition de la loi $\mathcal U([0;1])$ définie par:$ F(x) =\left\{ \begin {array}{cl} 0& \text{si} \:\: x\leqslant 0\\ x& \text{si} \:\: 0\leqslant x \leqslant 1\\ 1 & \text{si}\:\: x\geqslant 1 \end{array} \right.$
et $(X_n)_{n\in \N} $ converge bien en loi vers la variable aléatoire $X$ qui obéit à $\:\mathcal U([0;1])$.