Convergence dans $L^1$

Utilise l'uniforme continuité de $h$ et son profil de croissance (ce qui est caché est évidemment la notion d'uniforme intégrabilité).
De manière plus piétonne, on a pour $0<\delta\ll 1$ et $A\gg 1$ et pour $n\in \mathbb{N},$
\begin{align*}
I_{n}:= \int_{E} \vert h(f_{n}(x))-h(f(x))\vert d\mu(x) = & \int_{\{x\in E : \vert f_{n}(x)-f(x) \vert \leq \delta; \vert f_{n}(x)\vert \leq A; \vert f(x)\vert \leq A\}}\vert h(f_{n}(x))-h(f(x))\vert d\mu(x) \\
& + \int_{\{x\in E : \vert f_{n}(x)-f(x) \vert > \delta; \vert f_{n}(x)\vert \leq A; \vert f(x)\vert \leq A\}}\vert h(f_{n}(x))-h(f(x))\vert d\mu(x)\\
& + \int_{\{x \in E : \vert f_{n}(x)\vert > A \mbox{ ou } \vert f(x)\vert > A\}}\vert h(f_{n}(x))-h(f(x))\vert d\mu(x)\\
\leq & \varepsilon_{A}(\delta) \mbox{ où } \varepsilon_{A} \mbox{ désigne le module d'uniforme continuité de } h \mbox{ sur } [-A,A]\\
& +2A^{2}\mu(\{x\in E : \vert f_{n}(x)- \vert f(x) \vert \geq \delta\})\\
& + \int_{\{ \vert f_{n}(x) \vert \geq A\}}\left(\vert f_{n}(x) \vert^{2} +\vert f(x) \vert ^{2}\right)d\mu(x) + \int_{\{\vert f(x) \vert \geq A\}}\left(\vert f_{n}(x) \vert^{2} +\vert f(x) \vert ^{2}\right)d\mu(x)\\
\leq & \varepsilon_{A}(\delta) + +2A^{2}\frac{\|f_{n}-f\|_{2}^{2}}{\delta^{2}} \mbox{ par l'inégalité de Tchebytchev}\\
& + C\left( \|f_{n}-f\|_{2}^{2}+ \int_{\{ \vert f_{n}(x) \vert \geq A\}} \vert f(x) \vert ^{2}d\mu(x) + \int_{\{ \vert f(x) \vert \geq A\}} \vert f(x) \vert ^{2}d\mu(x)\right)\\
\leq & \varepsilon_{A}(\delta) + +2A^{2}\frac{\|f_{n}-f\|_{2}^{2}}{\delta^{2}}+ C\|f_{n}-f\|_{2}^{2}+\alpha(A) \mbox{ où } \alpha \mbox{ tend vers } 0 \mbox{ lorsque } A \mbox{ tend vers } +\infty.
\end{align*}

Pour la dernière inégalité, on a utilisé que les intégrations se faisaient sur des ensembles de mesure petite (lorsque $A$ est grand) et que $\vert f \vert ^{2}$ était intégrable.

Ainsi, on obtient par définition de la convergence $L^{2},$ $$\limsup_{n\rightarrow +\infty} I_{n} \leq \varepsilon_{A}(\delta)+\alpha(A).$$
En faisant tendre successivement $\delta$ vers $0$ puis $A$ vers $+\infty,$ on obtient le résultat de convergence escompté!