Chaîne de Markov irréductible
Salut à tous !
Pouvez-vous, s'il vous plaît, m'aider à montrer que : Si $X$ est une chaîne de Markov irréductible alors pour tout mesure invariante $\mu$ on a $\mu(x) >0$.
Merci.
Pouvez-vous, s'il vous plaît, m'aider à montrer que : Si $X$ est une chaîne de Markov irréductible alors pour tout mesure invariante $\mu$ on a $\mu(x) >0$.
Merci.
Réponses
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Il te manque un pour tout $x$.
L'idée est de partir de la mesure invariante, et de regarder la possibilité d'une trajectoire partant d'un point chargé par $\mu$ à un autre point. -
Comme $\mu$ est non nulle, il existe $x\in S$ tel que $\mu(x)>0$.
Soit $z \in S$, montrons $\mu(z) > 0$, soit $(x,x_{1},...,x_{n},z)$ un chemin de $x$ vers $z$ ($Q$ est irréductible).
On a $\mu(z) >0$ de proche en proche, c'est à dire $\mu(x_{1}) >0$ car $\mu(x_{1}) \ge \mu(x)Q(x,x_{1}) >0$
Etc. -
Est-il vrai qu'une mesure invariante ne charge que les points récurrents ? Comment le prouver ?
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Oui c'est vrai, je vois comment le prouver. Il me reste plus qu'à montrer que si $x$ et $y$ transitoire alors $Q^{n}(x,y)$ converge vers $0$ à l'infini. Je cherche une preuve...
Pour être plus précis je sais que si $i$ est transitoire alors $U(i,i)<+\infty$ donc $Q^{n}(i,i)$ converge vers $0$ maintenant faut passer de $Q(i,i)$ à $Q(j,i)$
Avec $U$ le potentiel de la chaîne. -
C'est bon.
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Ce n'est pas complètement immédiat. Dans mon cours, je passe par un théorème ergodique des chaînes de Markov.
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Moi j'ai utilise $\mu = \mu Q^{n}$ puis la convergence dominée.
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Bien vu, effectivement c'est plus simple si on veut juste montrer récurrent.
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