Loi de proba temps entre différents états

bobyboby
bobyboby
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour
Je cherche à trouver la loi de probabilité (et sa distribution) décrivant le temps que met un système à passer d'un état X1 à Xn.

Il me semble que mon probleme est bien décrit par un processus de [large]P[/large]oisson.
Le plus simple est : A ---> B avec un taux r pour passer de A à B. Dans ce cas le temps de passage entre A et B est décrit par une loi exponentielle de paramètre r.

Cela se complique lorsque qu'il y a plus d'une transition.
1) A ---> B ---> C
2) A ---> B ----> A ----> B ---> C ici il y a une possibilité de passage à l'état précédent.
3) généralisation du cas 2) pour n boucles entre A et B.

Dans tous les cas je cherche la distribution du temps total que met le système pour passer de l'état A à l'état final C avec des taux de passage différents entre chaque état.
Merci beaucoup pour votre aide,
Bien cordialement,
BB.

[Siméon Poisson (1781-1840) prend toujours une majuscule. AD]

Réponses

  • P.
    P.
    Si $Y_1,\ldots,Y_n$ sont des va independantes et de lois exponentielles telles que $\Pr(Y_k>y)=e^{-a_ky}$ avec des $a_k$ distincts et si $S=Y_1+\cdots+Y_n$ alors
    $$\mathbb{E}(e^{-sS})=\frac{a_1\ldots a_n}{(a_1+s)\cdots (s+a_n)}=\sum_{k=1}^nc_k\frac{a_k}{a_k+s}$$ par decomposition en elements simples. Cela signifie que la densite de $S$ est $$\sum_{k=1}^nc_ka_ke^{-a_kx}.$$
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