Espérance conditionnée par un événement

C'est bien entendu faux. J'imagine que ce qui est vraiment attendu c'est que $$\int_{\Omega} X dP^B$$ a bien un sens. Si $X$ est positive c'est évident. Sinon, il est facile de voir que $$\int_{\Omega} |X| dP^B \leq \frac{1}{P(B)} \int_{\Omega} |X| dP < +\infty$$ en se ramenant à la définition de l'intégrabilité.

Tu devrais revoir la définition de l'espérance d'une variable aléatoire. Si elle est positive alors son espérance, qui vaut éventuellement $+\infty$, a toujours un sens.

Je t'ai dit que ton énoncé était clairement faux. Il suffit de prendre $X$ positive non intégrable et $B=\Omega$.

Soit l'énoncé est "si $X$ est intégrable par rapport à $P$ alors elle l'est par rapport à $P^B$", soit c'est "si $X$ est positive ou intégrable par rapport à $P$, alors son intégrale par rapport à $P^B$ a un sens".