Interprétation graph. d'intégrales dans Rn

Bonjour.

la loi de U=X+Y avec X,Y deux variables indépendantes et de loi uniforme U[0,1] ne peut pas être ce que tu dis, puisque X+Y varie entre 0 et 2.
Quels théorèmes as-tu sur les sommes de variables indépendantes ?

Je reviens sur " l'intégrale double d'une fonction à deux variables, je vois à quoi ça correspond (volume) autant je visualise mal à quoi peut correspondre, l'intégrale d'une telle fonction par rapport à une seule de ces variables?"
Tu te compliques la vie à vouloir interpréter les intégrales doubles comme des volumes (et les simples comme des aires ?). Les intégrales sont des nombres : $\int_0^2 x^2\, dx=\frac 8 3$ pas d'unité ici, seulement un nombre.
Et $\int_a^bf(x,y)\, dx$ est un nombre qui dépend de y, une fonction de y. Rien de plus.

Cordialement.

Il arrive que l'interprétation en termes d'aire soit très utile, par exemple ici, dans le calcul de l'intégrale de convolution. Mais ce n'est qu'une des très nombreuses interprétations des intégrales.

Sinon, les bornes à prendre sont normalement dans les formules de base, qu'on applique strictement. Donc pas de vrai choix. Après, ... on cherche les bonnes règles à appliquer. Prenons ton exemple. J'appelle f la densité de la loi uniforme sur [0;1] et g celle de U :
$g=f\star f$
$g(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)f(x-t)\, dt =\int_0^1 f(x-t)$
En effet, f(t) est nulle en dehors de [0;1] et l'intégrale sur un intervalle d'une fonction nulle est nulle.
$f(x-t)$ n'est non nulle que si $0\le x-t\le 1$, ce qui donne, compte tenu de ce que, dans l'intégrale, t est entre 0 et 1 :
$0+t\le x\le 1+t$
$0\le x\le 2$
Donc on connaît g(x) pour x<0 et x>2.
Ensuite, un dessin de f(x-t) entre 0 et 1 montre vite qu'on a intérêt à distinguer deux cas, suivant que x est inférieur ou supérieur à t, et donne l'intégrale.

Cordialement.