Convergence en probabilité des séries
Bonjour, je désire prouver le théorème classique suivant.
Soit $(X_n)_n$ une suite de v.a.r. indépendantes. Prouver que si $\sum_nX_n$ converge en loi alors elle converge en probabilité.
Comment commencer alors la preuve ?? (La limite de la convergence en probabilité est inconnue, alors j'ai pensé au critère de Cauchy en probabilité).
Merci d'avance.
Soit $(X_n)_n$ une suite de v.a.r. indépendantes. Prouver que si $\sum_nX_n$ converge en loi alors elle converge en probabilité.
Comment commencer alors la preuve ?? (La limite de la convergence en probabilité est inconnue, alors j'ai pensé au critère de Cauchy en probabilité).
Merci d'avance.
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Réponses
Merci beaucoup !
L'étape clef est d'avoir une inégalité maximale.
Voir par exemple Garet-Kurtzmann, chap 14 (page 343 pour la première édition).
Je note $S_n$ la somme partielle, $S$ la limite en loi.
Supposons que $S_n$ n'est pas une suite de Cauchy en probabilité. Alors il existe $\epsilon > 0$ et deux suites extraites $a_n$ et $b_n$ avec $a_n > b_n$, tels que $\mathbb P(|S_{a_n} - S_{b_n}| > \epsilon) > \epsilon$. Donc la suite $T_n = S_{a_n}-S_{b_n}$ ne converge pas en probabilité vers $0$.
Les variables $S_{a_n} - S_{b_n}$ et $S_{b_n}$ sont indépendantes, donc $\phi_{S_{a_n}}(t) = \phi_{T_n}(t)\phi_{S_{b_n}}(t)$. Pour tout $t$ tel que $\phi_S(t) \neq 0$, on a $\phi_{T_n}(t) \to 1$ (car $\phi_{S_{a_n}}$ et $\phi_{S_{b_n}}$ convergent vers $\phi_S$). Il faudrait arriver à montrer cela pour tout $t$.
Si tel est le cas, alors cela prouverait que $T_n$ converge vers $0$ en loi, et comme la limite est constante elle converge aussi en probabilité vers $0$, ce qui est absurde.
Je bloque sur le cas où $\phi_{S}(t)$ est nul ... En fait je cherche à démontrer qu'une série de variables indépendantes qui converge en loi a son "reste de Cauchy" qui converge vers $0$ en loi.
https://www.math.nyu.edu/~varadhan/course/PROB.ch3.pdf
(exercice 10)
En fait j'ai trouvé plusieurs façon pour vérifier la convergence en probabilité :
1) Soit par l'absurde comme vous avez fait :
https://www.lama.univ-savoie.fr/pagesmembres/briand/MATH703/M1_cours.pdf
(page 64) où il utilise le resultat de l'exercice 10 précédent (je n'ai pas réussi à le résoudre, i.e. le passage du voisinage de 0 à tout réel).
2) Soit directement
http://matheron.perso.math.cnrs.fr/enseignement_fichiers/16-17/Probas/Feuille6.pdf
exercice 43, qui utilise le résultat de l'exercice 42 et qui est prouvé d'une autre façon en utilisant l'inégalité de l'exercice 41.
On pourra aussi consulter
https://www.lama.univ-savoie.fr/pagesmembres/lecot/data/M1_Proba.pdf
page 63
Pour moi je préfère de vérifier le résultat en utilisant l'exercice 10:
https://www.math.nyu.edu/~varadhan/course/PROB.ch3.pdf
J'attends vos indications!!
En tout cas merci pour ces liens (tu)
Edit : $1-\cos(2x) \leq 4(1-\cos(x))$ ce qu'on remarque en remplaçant $\cos(2x) = 2\cos(x)^2-1$ puis trinôme du second degré.
Soit $S$ la limite en loi de $S_n=\sum\limits_{1}^n X_k$ et choisissons $a>0$ tel que $\left|\phi_S\right|\geq b>0$ sur $\left[-a;a\right].$ Du fait que $\phi_{S_n}$ tend simplement vers $\phi_S,$ il résulte que $\phi_{S_n-S_m}$ tend vers 1 sur $\left[-a;a\right]$ lorsque $n$ et $m$ tendent vers l'infini.
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(0)=0$ et $h(x)=1-(\sin ax/ax)$ pour $x\not=0.$ Cette fonction est paire, strictement positive en dehors de 0 et tend vers 1 à l'infini. On a
\begin{align*}\mathrm{E}\left[h\left(\left|S_n-S_m\right|\right)\right]&=\int_{\mathbb{R}}\left(1-(\sin ax/ax)\right)\mathrm{dP}_{\left(S_n-S_m\right)}(x)\\
&=(2a)^{-1}\int_{-a}^a \mathrm{d}z\int \left(1-\text{e}^{\text{i}zx}\right)\mathrm{dP}_{\left(S_n-S_m\right)}(x)\\
&=(2a)^{-1}\int_{-a}^a \left(1-\phi_{S_n-S_m}(z)\right)\mathrm{d}z,\end{align*}
expression qui tend vers $0$ lorsque $n$ et $m$ tendent vers l'infini, d'après ce qui a été dit plus haut.
Pour $\delta>0,$ si on pose $\alpha(\delta)=\inf\left\{h(x),~x\geq \delta\right\},$ il en découle que
$$\mathrm{P}\left[\left|S_n-S_m\right|\geq \delta\right]\leq \alpha(\delta)^{-1}\mathrm{E}\left[h\left(\left|S_n-S_m\right|\right)\right],$$ et la suite $\left(S_n\right)$ est donc de Cauchy en probabilité.
Il évite certes de démontrer la convergence de la fonction caractéristique vers $1$ sur tout $\mathbb R$, mais en échange ça complexifie pas mal le reste de la démo par rapport à "mon" approche.
Mais bien sûr, la fonction caractéristique est bornée par $1$, donc si la partie réelle converge vers $1$ cela prouve que c'est la fonction caractéristique elle-même qui converge vers $1$.