Méthode de Monte-Carlo

Bonjour,

je suis en train de lire le chapitre sur les méthodes de Monte-Carlo dans le livre de Walter Appel "probabilités pour les non-probabilistes" et il y a un détail qui me laisse perplexe.

Afin de situer le contexte, je paraphrase le livre. On dispose d'une fonction $\varphi$ de $[a,b]$ dans $\R$, que l'on suppose intégrable et on veut estimer $\int_a^b \varphi(x)dx$. Dans un premier temps, le théorème de transfert montre que si $X$ est une va qui suit la loi uniforme sur $[a,b]$, alors $\int_a^b \varphi = (b - a) \mathbb E(\varphi(X))$. Puis, la loi des grands nombres permet d'obtenir informatiquement une estimation de $\mathbb E(\varphi(X))$.
Ensuite, si $\varphi$ est comprise entre $0$ et un réel $M$, on peut aussi remarquer que l'intégrale que l'on veut calculer est l'aire du domaine $A$ délimité par la courbe de $\varphi$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$, ce qui peut s'écrire $\iint_{A} dxdy$. Pour estimer cette intégrale, il utilise une méthode de rejet : on choisit un couple $(x,y)$ selon la loi uniforme sur $[a,b]\times[0,M]$ et on décide si ce couple appartient à $A$. Une estimation de l'aire de $A$ est alors la proportion des points tirés dans $[a,b]\times[0,M]$ qui sont dans $A$.

Enfin, on en arrive à ce qui me pose problème, le cas d'une fonction $\varphi$ de $\R^d$ dans $\R$, dont on veut calculer l'intégrale sur un domaine $K$ de $\R^d$.
- si le domaine d'intégration $K$ est un pavé de volume $V$, alors on a comme précédemment $\int_{K} \varphi = V \mathbb E(\varphi(X))$ où $X$ suit la loi uniforme sur le pavé.
- si le domaine d'intégration $K$ est plus compliqué de la forme $K = \{F(x_1,...,x_d) \leq 0\}$ et que l'on connaît un pavé $Q$ qui contient $K$, alors on utilise la méthode du rejet et l'auteur donne un algorithme de calcul que je mets en pièce jointe.
C'est cet algorithme qui me pose problème. D'après ce que j'ai compris de la méthode du rejet, on tire un grand nombre $n$ de fois un vecteur $(x_1,...,x_d)$ uniformément dans le pavé $Q$. Si ce vecteur appartient à $K$, alors on incrémente un sommeur de $\varphi(x_1,...,x_d)$. On renvoie ce sommeur multiplié par le volume du pavé $Q$ que l'on divise par $n$. Mais l'auteur ne donne pas cet algorithme : il tire $n$ vecteurs dans $K$ (en les tirant dans $Q$ et ne gardant que ceux qui sont dans $K$), calcule la somme des images par $\varphi$ de ces vecteurs et renvoie comme moi la somme multiplié par le volume du pavé $Q$ que l'on divise par $n$.
J'ai testé cet algorithme sur un exemple simple d'intégrale d'une fonction de deux variables et le test me donne raison, mais j'aimerais bien avoir confirmation que je n'ai pas compris de travers.