Lancer de dé et chaîne de Markov

Bonjour,

Je ne sais pas exploiter la question 2 pour répondre à la question qui lui succède, mais je pense que ce qui suit (il y a sûrement plus simple) calcule convenablement la probabilité que la question $3$ demande de déterminer.
Le protocole décrit par l'énoncé entraine que $ \forall n \in \N^*, \:\:\forall k \in [\![1;6]\!],\:\: \Pr[X_{n+1} = k] =\dfrac15 \Pr\Big[X_n \not \equiv k-1 \mod6\Big]\:\:\:(\star)$.
Soient $U_n \in \mathcal M_{6,1} (\R)$ défini par: $^tU_n =\left(\Pr [X_n =k]\right)_{1\leqslant k \leqslant 6 }$, $\:\:E$ la matrice de $\mathcal M_6(\R)$ dont tous les coefficients sont égaux à $1$, $\:\:J\in \mathcal M_6 (\R)$ tel que $\forall i,j \in [\![1;6]\!],\:\: J_{i,j} = \left \{ \begin{array} {cl}1 & \text{si}\: i\equiv j+1 \mod6\\ 0& \text{sinon}\\ \end{array}\right.$ et $\:\:A=\dfrac15 (E-J)$.
Alors $^tU_1= (0;0;0;0;0;1),\:\:\:$ et la relation $(\star)$ implique: $\:\:\forall n \in \N, \:\: U_{n+1} = A^n U_1$ puis: $\:\:\:\Pr [X_{n+1} = 6 ]=(A^n)_{6,6}$.
Or, en utilisant le fait que $JE=EJ=E$ et que $ \forall (p,q) \in \N\times\N^*,\:\: J^pE^q=6^{q-1}E$, on obtient:
$(5A)^n =(E-J)^n = \displaystyle{ \sum_{k=0}^n \binom nk (-J)^k E^{n-k} =(-J)^n + \sum_{k=0}^{n-1} \binom nk 6 ^{n-k-1} (-1)^k E}$.
Il vient: $ \:\:5^n \Pr [X_{n+1} =6] = (-1)^n(J^n)_{6,6} +\dfrac16 (5^n-(-1)^n)E_{6,6},\:$ d'où l'on déduit:
$$ \boxed {\forall n \in \N, \:\: 5^n \Pr\Big[X_{n+1}= 6\Big]= \left\{ \begin{array} {cl} \dfrac{5^n+5(-1)^n}6& \text {si}\:\: n\equiv 0 \mod 6\\ \dfrac {5^n-(-1)^n} 6& \text {sinon}\\ \end{array} \right. }$$

Idée: si on note $(L_n)$ une suite des lancers et $L'_n=L_n+n$, où l'addition est faite modulo 6, les entiers tels que $L'_{n+1}=L'_n+1$ sont précisément les entiers tels que $L_{n+1}=L_n$.
Or, la suite $(L'_n)$ a la même loi que la suite $(L_n)$: c'est une suite de vaiid suivant la loi uniforme dans Z/6Z.