Densité marginale et fonction de répartition

Bruce · January 2019

Bonjour tout le monde.
Je peux savoir si c'est possible d'obtenir les densités marginales d'un vecteur aléatoire, à partir de sa fonction de répartition sans passer par la densité entière du vecteur.
Pour faire simple, est-ce que les dérivées partielles de la fonction de répartition nous donnent les densité marginales ?
Merci pour votre aide.
Cordialement.

gerard0 · January 2019

Bonjour.

Prenons l'exemple d'une loi uniforme sur le carré $[0;1]\times [0;1]$. sa densité est constante sur le carré, égale à 1 (et nulle ailleurs). Les marginales sont aussi constantes, égales à 1. Combien valent les dérivées partielles ?

La notion de dérivée partielle est une notion locale (on ne s'occupe que de ce qui se passe très près du point considéré; la notion de marginale est globale; au sens où on considère tout se qui se passe pour une composante constante.

Cordialement.

Bruce · January 2019

Je n'ai malheureusement toujours pas compris :-S. Quand j'ai dit les dérivées partielles, je parlais des dérivées partielles de la fonction de répartition.

gerard0 · January 2019

Effectivement, j'ai confondu avec celles de la densité. Dans le cas que je cite, ton idée est essentiellement correcte. Mais l'est-elle généralement ?

Déjà, il faut voir que ces dérivées partielles n'existent pas nécessairement (c'est le cas en x=0 dans mon exemple).
Je n'ai pas le temps d'aller plus loin, d'autres devraient pouvoir le faire.

Cordialement.

P. · January 2019

$F(x,y)=\Pr(X<x,Y<y)\Rightarrow \frac{\partial}{\partial x}F(x,y)dx=\Pr(X\in dx, Y<y)\Rightarrow \Pr(X\in dx)= \frac{\partial}{\partial x}F(x,\infty)dx.$

Densité marginale et fonction de répartition

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