Série temporelle mesurable
Bonjour,
J'aurais besoin d'un peu d'aide sur cette question.
On suppose $(\epsilon _t)$ un bruit blanc fort (i.e pour tout $t$ dans $\mathbb{Z}$, les $\epsilon _t$ sont centrés, de même variance finie et iid )
On pose $$Y_t=a Y_{t-1}\epsilon _t + \epsilon _t^2$$
Montrer que $Y_t$ est mesurable par rapport à la tribu engendrée $\sigma (\epsilon _t,\epsilon _{t-1}...)$
J'ai une indication comme quoi il faut conditionner par rapport à $\sigma (\epsilon _{t-1}...)$ mais je ne vois comment commencer.
Je vous remercie d'avance pour votre aide.
J'aurais besoin d'un peu d'aide sur cette question.
On suppose $(\epsilon _t)$ un bruit blanc fort (i.e pour tout $t$ dans $\mathbb{Z}$, les $\epsilon _t$ sont centrés, de même variance finie et iid )
On pose $$Y_t=a Y_{t-1}\epsilon _t + \epsilon _t^2$$
Montrer que $Y_t$ est mesurable par rapport à la tribu engendrée $\sigma (\epsilon _t,\epsilon _{t-1}...)$
J'ai une indication comme quoi il faut conditionner par rapport à $\sigma (\epsilon _{t-1}...)$ mais je ne vois comment commencer.
Je vous remercie d'avance pour votre aide.
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Réponses
la série est définie sur $\mathbb{Z}$
PS: Je ne suis pas sûr que l'indication soit pour cette question
Je pense comprendre ce que vous voulez dire dans le cas où la série est indexée sur $\mathbb{N}$.
Mais là il n'y a pas vraiment de "point de départ".
Sinon je suis maintenant sûr que l'indication que j'ai donné ne sert pas pour cette question.
Mais je ne sais pas aller plus loin. Juste pour être sûr, tu as bien mis tout l'énoncé ?
Et je suis d'accord ça doit être ce qui fait que ça marche.
En effet, si on prenait les $\epsilon$ non nuls, alors on pourrait définir tous les $Y_t$ en fonction de $Y_0$, et a priori on peut construire un espace où on définit un $Y_0$ qui ne serait pas mesurable par rapport à la tribu engendrée par les $\epsilon$.