Loi géométrique spéciale

Bonsoir,

Le calcul suivant est tout à fait élémentaire, mais exige un certain soin dans le maniement des exposants.

On fixe $q$ dans $[\![1; l]\!],\:\:$on note: $E\:$ l'évènement dont on cherche la probabilité, $\:\forall m \in [\![1;n]\!],\:\:Y_m = \Big\lceil \dfrac {X_m}{2^{l-q}}\Big\rceil$ et $F$ l'évènement $F: = \Big[Y_1 =Y_n \Big]$.
Alors $ \displaystyle{\Pr (E) = \Pr \left(\bigcup_{i=0}^{n-1} [Y_i = Y_n]\right) = 1 -\Pr \left( \bigcap_{i=1}^{n-1} [Y_i\neq Y_n]\right) = 1 - \big( 1-\Pr(F)\big)^{n-1}}$.
Il "suffit" donc de calculer $\:\displaystyle{ \Pr (F) = \sum _ {k=1}^{2^q} \Big( \Pr [Y_1 =k]\Big)^2}$. Notons $\boxed{p = 2^l }$ et $\: \boxed{ s=2^{l-q}}$ .
Ainsi: $\:\:\forall k \in [\![1;2^q-1]\!],\:\:\:\Pr [Y_1 = k] = \Pr \Big[(k-1)s<X_1\leqslant ks \Big] =\displaystyle{ \sum_ {i=1+(k-1)s}^{ks} \dfrac 1{2^{i}} = \dfrac 1{2^{(k-1)s}}\left(1-\dfrac 1{2^s} \right)}$
$\Pr\Big[Y_1 = 2^q\Big]= \Pr \Big[ (2^q-1)s<X_1<2^qs \Big] + \Pr\Big[X_1 = p \Big] = \dfrac 1{2^{(2^q-1)s}} \left(1- \dfrac 1 {2^{s-1}}\right)+ \dfrac 1{2^{p-1}} = \dfrac 1 { 2^{(2^q-1)s}} \Big( 1 -\dfrac1 {2^s} \Big) + \dfrac1{2^{p}}$
On obtient: $\displaystyle{ \Pr(F) =\dfrac { 2^{s+1}-1}{4^{p}} +\Big (1-\dfrac 1{2^s}\Big)^2 \sum _{k=1} ^{2^q} \dfrac1 {4^{(k-1)s}}=\dfrac { 2^{s+1}-1}{4^{p}}+\dfrac{ (1 -2^{-s}) (1-4^{-p})}{1+2^{-s}}}$
$$\boxed{\Pr( E )=1-\Big(1-\dfrac{ 2^{2s+1}+ 4^p(2^s-1)}{4^p (2^s+1)}\Big)^{n-1}}$$

$Y_m$ est défini par l'égalité $Y_m = \Big\lceil \dfrac {X_m}{2^{l-q}}\Big\rceil$. Les variables étant iid, on aurait pu prendre n'importe lequel des $Y_i$ fixé à la place de $Y_1$. L'observation cruciale étant que $$\Pr \left( \bigcap_{i=1}^{n-1} [Y_i\neq Y_n]\right) = \prod_{i=1}^{n-1} \Pr \left( [Y_i \neq Y_n]\right)$$ puisque les variables sont indépendantes, puis $$\Pr \left( [Y_i \neq Y_n]\right) = \Pr(F)$$ pour tout $i \in \{1, \dots, n-1\}$ puisque les variables sont identiquement distribuées.