Fonctions boréliennes et fonctions continues

Une limite simple de fonctions continues est continue sur une partie dense. C'est une application classique du théorème de Baire. Une fonction mesurable n'ayant aucune raison de vérifier ça, ton 1. est bien sûr faux. Pour un contre-exemple il te suffit de prendre l'indicatrice de $\mathbb Q$.

Cependant le plus petit sous-ensemble de $\R^{\R}$ (ensemble des applications de $\R$ dans lui-même) stable par limite simple et contenant toutes les fonctions continues est l'ensemble de toutes les fonctions boréliennes.