Espérance d'une v.a. réelle à densité
Bonjour à tous
Dans le cadre d'un programme de 2ème année (intégrale de Riemann), je me heurte à une difficulté concernant l'espérance des variables aléatoires réelles à densité.
En effet, en supposant l'espérance définie pour les v.a. discrètes et pour les v.a. continues, je trouve dans de nombreux cours :
Si $X$ et $Y$ sont deux v.a. réelles à densité admettant une espérance alors on a : $$
\forall a,b \in \mathbb{R},\ E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y).
$$ Il est clair que $aX+bY$ n'est pas nécessairement une v.a. à densité : il suffit de prendre $a=b=0$ pour obtenir une v.a. discrète.
Je m'interroge donc sur la nature de $aX+bY$... Est-ce nécessairement une v.a. discrète ou une v.a. à densité ou est-il possible que ce ne soit ni l'un ni l'autre.
Si cela peut être ni l'un ni l'autre, quel sens donner à $E(aX+bY)$ ?
Merci d'avance de vos réponses.
Dans le cadre d'un programme de 2ème année (intégrale de Riemann), je me heurte à une difficulté concernant l'espérance des variables aléatoires réelles à densité.
En effet, en supposant l'espérance définie pour les v.a. discrètes et pour les v.a. continues, je trouve dans de nombreux cours :
Si $X$ et $Y$ sont deux v.a. réelles à densité admettant une espérance alors on a : $$
\forall a,b \in \mathbb{R},\ E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y).
$$ Il est clair que $aX+bY$ n'est pas nécessairement une v.a. à densité : il suffit de prendre $a=b=0$ pour obtenir une v.a. discrète.
Je m'interroge donc sur la nature de $aX+bY$... Est-ce nécessairement une v.a. discrète ou une v.a. à densité ou est-il possible que ce ne soit ni l'un ni l'autre.
Si cela peut être ni l'un ni l'autre, quel sens donner à $E(aX+bY)$ ?
Merci d'avance de vos réponses.
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Réponses
En général $aX+bY$ n'a aucune raison d'être à densité. Un autre exemple se produit lorsque $Y=X+c$ où $c$ est une constante, en choisissant bien $a$ et $b$ on peut faire en sorte que $aX+bY$ soit constante presque sûrement.
J'ai pas le temps de vérifier cet exemple, mais en gros on pourrait regarder $X+Y$ avec :
$X = U.1_{|U| > 0.1} - U.1_{|U| \leq 0.1}$,
$Y = V.1_{|U| > 0.1} + U.1_{|U| \leq 0.1}$,
$V,U$ indépendantes, $U$ uniforme sur $[-1,1]$ et $V$ uniforme sur $[-1,-0.1] \cup [0.1,1]$.
L'idée c'est de construire deux variables à densité qui sont indépendantes sauf sur un intervalle où elle se compensent pour créer un atome de probabilité non nulle. A nouveau, il est possible que je me plante, j'ai sorti ça à l'arrache 8-)
Quant à donner un sens à cette espérance dans le cadre de ton programme, c'est compliqué. Et plus généralement, faire des probas avant de voir la théorie de la mesure c'est ... acrobatique.
Connaissez-vous la théorie de la mesure ? (la v.a X est toujours définie sur un espace probabilisé, pour parler de l'espérance il faut toujours vérifier l'intégrabilité de X par rapport à la mesure).
Ok je viens de voir ton édit, c'est effectivement beaucoup plus simple.
max(x,0) est la somme de deux v.a. à densité dans ce cas!!
Mais quitte à être pointilleux je te ferais remarquer que $\max(X,0)$ n'est pas toujours ni à densité ni discrète, elle peut être l'un ou l'autre selon comment est choisi $X$, mais on est d'accord que c'est un détail :-)
Pour avoir un résultat ayant du sens dans ce cadre je peux sans doute le formuler ainsi :
Propriété : Soient $X$ et $Y$ deux v.a. (discrètes ou à densité) admettant une espérance alors pour tous réels $a$ et $b$ tels que $aX+bY$ soit discrète ou à densité, $aX+bY$ admet aussi une espérance et :
$$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y).$$
Je reconnais que ce n'est pas très heureux puisqu'il existe un résultat plus général mais je ne vois pas d'autre solution. Qu'en pensez-vous ?
Je suis par exemple assez opposé à la réforme qui a supprimé Fourier en prépa pour y mettre des probas. Certes Fourier n'était pas fait dans le cadre le plus abstrait de l'analyse fonctionnelle, mais un certain de nombre de théorèmes classiques et utiles y étaient vus. Sur les probas, si on ne se met pas dans le bon cadre ça me paraît quand même très artificiel et limité.
Je me suis permis cette digression étant donné que la question de l'auteur semble avoir trouvé une réponse.
Il ne faut pas trop le prendre au pied de la lettre et chercher à faire l'impossible.
Ici, mon cours de L2 (un peu ancien)
http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Olivier.Garet/cours/m303/
où j'avais fait un truc à peu près cohérent (voir page 41), dans l'esprit de ce que propose jeffreyzi.
En revanche, si je me souviens bien, le programme de CPGE MP est cohérent, parce qu'il reste dans le cadre discret.
La cohérence peut être un peu menacée par des auteurs de sujets qui se lâchent (j'en ai vus) en voulant faire des théorèmes limites, mais c'est un peu une autre histoire
Merci de ta réponse. Juste une précision, tu parles bien de cours où l'on définit l'espérance comme la limite d'une suite de fonctions étagées approximant $X$ ?
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
Merci de ta réponse aléa, je ne l'avais pas vue. Je consulte ton document immédiatement.
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
Soit $\phi$ une fonction continue par morceaux sur un intervalle $I$. Si $X(\Omega)\subset I$ et si la variable aléatoire $Y=\phi(X)$ est à densité alors $Y$ admet une espérance si et seulement si $\displaystyle{\int_{-\infty}^{+\infty} \phi(x)f(x)dx}$ est absolument convergente et dans ce cas :
$$E(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty} \phi(x)f(x)dx.$$
Cela vous parait-il acceptable comme formulation ? Il me semble que l'on ne peut formuler simultanément le cas où $\phi(X)$ est discrète avec les outils de 2ème année.