Loi de X

Simeon-urbain
Simeon-urbain
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour

X est une va discrète, qui admet des moments d'ordre 4 telle que E(X)=a. et E(X2)=E(X4)=1
alors -1 =< a =< 1, car V(X)=1-a2. D'où V(X2)=0.
Quelle est la loi de X ?

Merci pour l'aide pardon pour mon imprécision.
Merci. S_U

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Peut-être un énoncé précis et clair permettrait-il de répondre ... Là, on a droit à une succession de phrases sans lien entre elles.
    Par exemple que signifie le "alors" ? Que tu as prouvé ça ? Qu'on t'a dit ça ? Que c'est dans l'énoncé ?

    En tout cas, pour "la" loi de X, c'est raté, je vois au moins deux variables aléatoires constantes qui conviennent.

    Donc, s'il te plaît, essaie de présenter ta question de façon précise et claire.
  • Bbidule
    Bbidule
    Bonjour,

    Pour montrer que $\alpha$ est compris entre $-1$ et $1$, applique la formule de Koenig-Huygens pour la variance et utilise la positivité de la variance.
    Pour déterminer la loi de $X$, montre que $X^2$ suit une loi (quasi)-certaine, puis montre que $X$ prend (presque sûrement) ses valeurs dans $\{-1;1\}$, puis explicite la loi de $X$ en fonction de $\alpha$.
    Cet exercice est tombé en Exercice sans préparation à l'Oral de HEC voie S en 2014 (Planche $S~67$).

    Cordialement,
  • P.
    P.
    Explicitant Bidule: $Y=X^2$ alors $V(Y)=E(Y^2)-E(Y)^2=1-1=0.$ Donc $Y=c$ est une constante positive car positive et de variance nulle. Comme $Y$ est de moyenne 1 alors $c=1$ et on a $X\in \{-1,1\}.$ Et donc $-1\leq a=E(X)\leq 1$ avec evidemment
    $$\Pr(X=1)=\frac{1+a}{2},\
    \Pr(X=-1)=\frac{1-a}{2}$$
  • Simeon-urbain
    Simeon-urbain
    Merci , je ne savais pas pour HEC(oral),

    je ne voyais pas comment justifier -1 , 1

    merci de votre compréhension. S_U
  • Bbidule
    Bbidule
    @P.: Pour justifier que $\alpha\in [-1,1]$, appliquer K-H à $X$ suffit ($V(X) = E\left(X^2\right)-E(X)^2 = 1-\alpha^2$ et $V(X)\geqslant 0$. D'où le résultat.)
  • Simeon-urbain
    Simeon-urbain
    bonjour,

    je me suis mal exprimé, ok pour alpha (ou a) compris entre -1 et 1,

    mais justifier la loi de X ?

    merci S_U
  • Bbidule
    Bbidule
    Relis mon message.
  • Simeon-urbain
    Simeon-urbain
    merci Bidule je crois avoir compris. merci bon w-e S_U
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