Loi conditionnelle

matheuxpro · January 2019

Salut, j'ai besoin de votre aide s'il vous plaît.

Soit $X$ une v.a.r intégrable et $\alpha$ un réel donné. Déterminer la loi conditionnelle de $X$ sachant $\min(X,\alpha)$

La loi $Y=\min(X,\alpha)$ est, pour tout borélien K : $$P_Y(K)=\int_K 1_{]-\infty;\alpha]}dP_X+P_X(]\alpha;+\infty[) 1_K(\alpha).

$$ Avez-vous une idée comment continuer ??
Merci d'avance.

P. · January 2019

Si $\mu(dx)$ est la loi de $X$ soit $F(x)=1_{x>\alpha}$ et $a=\Pr(X>\alpha)$ Alors le bon sens veut que $$
\mathcal{L}\big(X\mid Y=\min (X,\alpha)\big)(dx)=\big(1-F(Y)\big)\delta_Y(dx)+\frac{F(Y)}{a}\mu(dx).$$

matheuxpro · January 2019

Pouvez-vous, s'il vous plaît, me clarifier la réponse obtenue (la méthode à suivre dans ce cas, car la loi de v.a. $\min(X,\alpha)$ n'est ni discrète ni à densité ?

matheuxpro · January 2019

Si on prend une fonction $h$ de $R^2$ dans $R$ bornée alors on a:

$E[h(X,Y)]=\int_{]-\infty,\alpha]} h(x,x)dP_X(x)+\int_{]\alpha;+\infty[}h(x,\alpha)dP_X(x)$
Comment aboutir au résultat suivant : $$

E[h(X,Y)]=\int_R\bigg(\int_Rh(x,y)dP_{X|Y=y}(x)\bigg)dP_Y(y)\quad???$$

matheuxpro · January 2019

S'il vous plaît, si quelqu'un peut me répondre ?

Loi conditionnelle

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