Définition mesure

Bonjour.

Tu peux peut-être déjà lire ce document. Ça ne rpond pas à la question, mais donne le cadre historique.

Cordialement.

Sur le site de Villani l lien vers son cours à l'air mort.
Ce qui va suivre n'a rien de rigoureux mais c'est comme ça que je comprends ces axiomes.

Une tribu c'est une partie des ensembles que l'on peut mesurer. Intuitivement on a envie de se dire que l'on décide d'un poids pour l'espace ambiant. Ensuite toujours intuitivement si on connaît la mesure d'un élément, on connaît celle de son complémentaire en soustrayant sa mesure à la mesure de l'espace ambiant. Et puis si on a deux ensembles disjoints on a vraiment envie de dire que la mesure de l'union c'est la somme des mesures. Ces axiomes correspondent donc en tous points à l'idée intuitive que l'on se fait de "mesure".

Maintenant la classe de toutes les parties d'un ensemble vérifie ces axiomes, mais dans certains cas on doit se restreindre si on veut donner un sens à tout ça.

En effet par exemple sur $\R$ il est tentant de se dire que $\lambda([x,y])=y-x$ est une bonne notion de "mesure" d'un intervalle. Mais alors avec les axiomes qui définissent ce qu'est une mesure on connaîtra la mesure de tous les ensembles qui peuvent être obtenus par des opérations "permises" par la théorie de la mesure : c'est-à-dire les éléments de la tribu engendrée par les intervalles, la plus petite qui les contient tous. Attention ce que j'ai dit est vraiment "en gros" : on n'obtient pas tous les boréliens par un nombre dénombrable d'opérations, il faut aller plus loin que ça : https://fr.wikipedia.org/wiki/Tribu_engendrée. Mais je crois que l'idée est là.

Dans l'exemple de $\R$, on peut trouver des ensembles non-mesurables mais cela nécessite en général une axiomatique forte..

Si on ne définit pas la mesure sur tous les ensembles, on peut donc se dire que c'est parce que dans beaucoup de cas, on a une bonne définition de la mesure pour des "cylindres" ou des "briques élémentaires", comme les intervalles dans $\R$, et à partir de la mesure de ces "briques élémentaires" on pourra définir la mesure des éléments de la tribu engendrée par ces "briques", mais pas des autres.
En espérant que ce message te sera utile.
Bonne soirée.

[small][Revoir la différence entre démonstratif et réfléchi. https://www.frantastique.com/fr/regles-orthographe/ce-ou-se ;-) AD][/small]