Fonction caractéristique et moments
Bonjour, lorsque deux var X et Y ont des moments à tout ordre, peut affirmer qu'elles ont même loi si et seulement si elle ont les mêmes moments ? Je sais que les moments déterminent les coefficients dans le développement en série entière de la fonction caractéristique, donc la réponse devrait être oui en vertu du fait que "même fonction caractéristique = même loi", mais rien ne nous affirme que la fonction caractéristique est analytique pour affirmer l'existence d'une telle série non ?
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Réponses
Il y a quand même des cas simples.
1) Si le support de la mesure est fini alors ça marche sans problème.
2) Si la mesure est à support compact on s'en sortira grâce au théorème de Stone-Weierstrass.
En toute généralité ce n'est pas vrai, tu peux trouver un contre-exemple ici https://fr.wikipedia.org/wiki/Problème_des_moments
Donc si on a l'existence de tous les moments la fonctions caractéristiques est $C^{\infty}$. Mais toutes les fonctions $C^{\infty}$ ne sont pas analytiques, loin de là! (voir pour info le théorème de Morgenstern).
On note $m_k(X)$ le k-ième moment de la va $X$.
Le problème c'est que la série $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^km_k(X)}{k!}$ ne converge pas forcément, dès lors que cette série converge, alors oui tu récupères la fonction caractéristique, et donc la loi de ta va.
on a donc un troisième cas où la réponse est positive:
3) $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^km_k(X)}{k!}$ a un rayon de convergence no nul, alors la loi de $X$ est déterminé par ses moments, i.e si Y est une variable aléatoire avec les mêmes moments que $X$, elle a même loi que X
http://igor-kortchemski.perso.math.cnrs.fr/td/1314/td11.pdf
http://www.math.ens.fr/~pain/pdf/2018-2019/dm5-corrige.pdf