Partition infinie

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dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour, si on considère l'intervalle $]0,1]$, on peut obtenir une partition infinie dénombrable dont les éléments sont tous des intervalles de longueur strictement positive, en posant $I_n=\,]1/(n+1), 1/n]$.

Est-il possible de trouver une partition non dénombrable dont les éléments sont encore des intervalles de longueur strictement positive ?

Réponses

  • P.
    P.
    Bien sûr que non. Soit $I_N$ l'ensemble des intervalles de la décomposition de longueur $>1/N$ L'ensemble $I_N$ a au plus $N$ éléments et $$\bigcup_{N=1}^{\infty}I_N$$ est donc fini ou dénombrable.
  • Poirot
    Poirot
    Une autre manière de le dire : une famille sommable de nombres réels (ici la famille des longueurs d'intervalles constituant la partition) a toujours un support dénombrable.
  • Link
    Link
    Merci (tu)
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