Espérance d'une exponentielle
Bonjour à tous
Voici un exercice sur une suite de variables aléatoires.
Sur le corrigé de la question 1, j'ai cherché un moment comment on aboutit à un $\cosh$, notamment en remplaçant l'exponentielle par sa série entière et en utilisant la linéarité de l'espérance, mais je suis bloqué...
Si vous aviez un détail de calcul intermédiaire...
Merci par avance.
Voici un exercice sur une suite de variables aléatoires.
Sur le corrigé de la question 1, j'ai cherché un moment comment on aboutit à un $\cosh$, notamment en remplaçant l'exponentielle par sa série entière et en utilisant la linéarité de l'espérance, mais je suis bloqué...
Si vous aviez un détail de calcul intermédiaire...
Merci par avance.
Réponses
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Il suffit d'appliquer le théorème de transfert : $$\mathbb E\left(\mathrm{e}^{tX_i}\right) = \mathbb P(X_i=1) \mathrm{e}^{t \times 1} + \mathbb P(X_i=-1) \mathrm{e}^{t \times (-1)}.$$
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