Problème élémentaire
Bonjour, j'ai 7 nombres réels strictement positifs $a, b,c, x, y, z$ et $t$, et j'ai les relations suivantes : $$
ax=by=cz=t\qquad\text{et}\qquad a(b+c-x)=y+z-t
$$ J'ai besoin de savoir si $ab=z$, est-ce possible ou ces informations ne permettent pas de déduire ?
[Ne pas abuser des expressions centrées $\$\$\cdots\$\$$. AD]
ax=by=cz=t\qquad\text{et}\qquad a(b+c-x)=y+z-t
$$ J'ai besoin de savoir si $ab=z$, est-ce possible ou ces informations ne permettent pas de déduire ?
[Ne pas abuser des expressions centrées $\$\$\cdots\$\$$. AD]
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
J'ai noté :
$a=p(A), b=P(B), c=P(C), x=P(B\cap C), y=P(A\cap C), z=P(A\cap , t=P(A\cap B\cap C)$
Il me semble que les relations de mon message traduisent sans perte l'énoncé.
$$r=\frac{\Pr(A\cap B\cap C)}{\Pr(A)\Pr(B)\Pr(C)} =\frac{\Pr(B\cap C)}{\Pr(B)\Pr(C)}=\frac{\Pr(C\cap A)}{\Pr(C)\Pr(A)}=\frac{\Pr(A\cap }{\Pr(A)\Pr(B)}.$$
Si de plus $A$ est independant de $B\cup C$ alors $r=1$ et donc $A,B,C$ sont independants. En effet
\begin{eqnarray*}0&=&\Pr(A\cap[B\cup C])-\Pr(A)\Pr(B\cup C)\\&=&
\Pr([A\cap B]\cup[A\cap C])-\Pr(A)\Pr(B)-\Pr(A)\Pr(C)+\Pr(A\cap B\cap C)\\&=&\Pr(A\cap +\Pr(A\cap C)-\Pr(A)\Pr(B)-\Pr(A)\Pr(C)
\\&=&(r-1)\Pr(A)(\Pr(B)+\Pr(C)).
\end{eqnarray*}