Problème élémentaire

Link · January 2019

Bonjour, j'ai 7 nombres réels strictement positifs $a, b,c, x, y, z$ et $t$, et j'ai les relations suivantes : $$

ax=by=cz=t\qquad\text{et}\qquad a(b+c-x)=y+z-t

$$ J'ai besoin de savoir si $ab=z$, est-ce possible ou ces informations ne permettent pas de déduire ?

[Ne pas abuser des expressions centrées $\$\$\cdots\$\$$. AD]

nicolas.patrois · January 2019

Tu peux éliminer t et ax dans ta deuxième égalité et la conclusion est vraie ssi ac=y. Cherche si tu peux le prouver à partir de ce que tu as.

Link · January 2019

Malheureusement je n'ai pas d'autres informations, à moins que j'aie mal traduit mon problème. Pour info mon problème est le suivant :

J'ai noté :

$a=p(A), b=P(B), c=P(C), x=P(B\cap C), y=P(A\cap C), z=P(A\cap

, t=P(A\cap B\cap C)$

Il me semble que les relations de mon message traduisent sans perte l'énoncé.

Link · January 2019

Edit : j'ai finalement résolu ce problème.

P. · January 2019

Si $\Pr(A),\ \Pr(B),\ \Pr(C)>0$ on suppose que $A$ est independant de $B\cup C$, $B$ est independant de $C\cup A$, $C$ est independant de $A\cup B$. Alors
$$r=\frac{\Pr(A\cap B\cap C)}{\Pr(A)\Pr(B)\Pr(C)} =\frac{\Pr(B\cap C)}{\Pr(B)\Pr(C)}=\frac{\Pr(C\cap A)}{\Pr(C)\Pr(A)}=\frac{\Pr(A\cap

}{\Pr(A)\Pr(B)}.$$
Si de plus $A$ est independant de $B\cup C$ alors $r=1$ et donc $A,B,C$ sont independants. En effet
\begin{eqnarray*}0&=&\Pr(A\cap[B\cup C])-\Pr(A)\Pr(B\cup C)\\&=&
\Pr([A\cap B]\cup[A\cap C])-\Pr(A)\Pr(B)-\Pr(A)\Pr(C)+\Pr(A\cap B\cap C)\\&=&\Pr(A\cap

+\Pr(A\cap C)-\Pr(A)\Pr(B)-\Pr(A)\Pr(C)
\\&=&(r-1)\Pr(A)(\Pr(B)+\Pr(C)).
\end{eqnarray*}

Problème élémentaire

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