Marche aléatoire symétrique
Bonjour je considère $S_n =X_1 + \cdots+ X_n$ où les $X_i$ sont des variables aléatoires indépendantes de même loi.
La variable $X_i$ prend uniquement les valeurs $1$ et $-1$ avec une proba de $1/2$ pour chacun.
Il est facile d'obtenir que $E(S_n^2) = n$, puisque comme les $X_i$ sont indépendantes, $V(S_n ) = V(X_1) +\cdots+V(X_n)$ et que $V(X_1) =E(X_1^2)-E(X_1)^2 = 1 -0$.
Une interprétation possible est qu'en moyenne, $S_n^2$ vaut $n$. On pourrait ainsi affirmer qu'en moyenne $|S_n|$ vaut $\sqrt n$, c'est-à-dire qu'après $n$ étapes, on s'est éloigné de l'origine de $\sqrt n$.
Pourtant cette dernière affirmation est en contradiction avec le résultat suivant. La suite $(E(|S_n|))$ est constante et donc égale à $E(|S_1|)= 1$. Ce dernier résultat est plus difficile à établir, j'ai pour cela établi en conditionnant selon les valeurs de $|S_n|$ que
$P(|S_{n+1}| = k) = ((P(|S_n| = k - 1) + P(|S_n| = k +1))/2$, puis utilisé que $E(|S_{n+1}| ) = \sum_{k \in \N^*}kP(|S_n| =k)$.
Merci de vos éclaircissements.
La variable $X_i$ prend uniquement les valeurs $1$ et $-1$ avec une proba de $1/2$ pour chacun.
Il est facile d'obtenir que $E(S_n^2) = n$, puisque comme les $X_i$ sont indépendantes, $V(S_n ) = V(X_1) +\cdots+V(X_n)$ et que $V(X_1) =E(X_1^2)-E(X_1)^2 = 1 -0$.
Une interprétation possible est qu'en moyenne, $S_n^2$ vaut $n$. On pourrait ainsi affirmer qu'en moyenne $|S_n|$ vaut $\sqrt n$, c'est-à-dire qu'après $n$ étapes, on s'est éloigné de l'origine de $\sqrt n$.
Pourtant cette dernière affirmation est en contradiction avec le résultat suivant. La suite $(E(|S_n|))$ est constante et donc égale à $E(|S_1|)= 1$. Ce dernier résultat est plus difficile à établir, j'ai pour cela établi en conditionnant selon les valeurs de $|S_n|$ que
$P(|S_{n+1}| = k) = ((P(|S_n| = k - 1) + P(|S_n| = k +1))/2$, puis utilisé que $E(|S_{n+1}| ) = \sum_{k \in \N^*}kP(|S_n| =k)$.
Merci de vos éclaircissements.
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Réponses
La proposition $P(|S_{n+1}| = k) = ((P(|S_n| = k - 1) + P(|S_n| = k +1))/2$ semble étrange. Peux-tu hésiter ?
L'écart entre $|S_{n+1}|$ et $|S_n|$ vaut $1$, donc la proba $P(|S_{n+1}| = k \ et \ |S_n| = a)$ vaut $0$ sauf éventuellement pour $a = k-1$ ou $a = k+1$. Ainsi
\[
P(|S_{n+1}| = k) = \sum_{a \in \N} P(|S_{n+1}| = k \ et \ |S_n| = a) = P(|S_{n+1}| = k \ et \ |S_n| = k-1) + P(|S_{n+1}| = k \ et \ |S_n| = k+1)
\]
Ensuite avec des probas conditionnelles, pour $k>1$
$P(|S_{n+1}| = k\ et \ |S_n| = k-1) = P(|S_n| = k-1) P( S_{n+1}| = k \ sachant \ |S_n| = k-1) = P(|S_n| = k-1) * \frac{1}{2}$
En fait on a pour tout $n$, $E(|S_{2n+1}|) = E(|S_{2n}|)$ et non pas $E(|S_{n+1}|) = E(|S_{n}|) $.
Je regarderai demain où est mon erreur qu'Alea a pointé du doigt je présume...
donc $E(X_n) $ tend vers $E(X)$ ? D'ailleurs, faut-il des hypothèses supplémentaires ?
Dans le cas d'une variable aléatoire entière, peut-on justifier que \[
E(X_n) = \sum_{k \in \N} k P(X_n = k)
\] tend, lorsque $n$ tend vers $+\infty$, vers \[
E(X) = \sum_{k \in \N} k P(X = k)
\] Merci pour votre aide. Je précise que mes souvenirs de probas et de mesure sont assez lointains.
> donc E(Xn) tend vers E(X)?
Comme le dit skyffer3 il va falloir des hypothèses en plus. Imagine par exemple que
$$
X_n =
\begin{cases}
0 &\text{ avec proba. }1-1/n,\\
n^2 &\text{ avec proba. }1/n.
\end{cases}
$$
Alors tu peux vérifier que $X_n \to X\equiv 0$ en probas (donc en loi) mais
$$
\lim_n \mathbb{E}[X_n] = \lim_n n = +\infty \neq 0 = \mathbb{E}[\lim X_n].
$$
Pour $X_n\ge 0$, on écrit $E(X_n)=\int_0^{+\infty} P(X_n>t)\ dt$ et comme $P(X_n>t)\le \min(1,K/t^2)$, on conclut avec le théorème de convergence dominée.
pour $t>0$, $P(X_n >t) =P(X_n^2 >t^2) \leq \frac{E(X_n^2)}{t^2}$.