Somme de deux variables aléatoires

Il y a des méthodes pour factoriser un polynôme en produit de facteurs irréductibles. As-tu essayé ça ?

Bonjour,
un élément de réponse il suffit peut-être de choisir le M au milieu de X et Y.

c'est quoi ton polynôme?

L'avantage de M est que M appartient à l'espace de définition de X et Y

et il est possible aussi de faire cela avec Mo, Xo et Yo

Mo = (Xo + Yo) /2 D'où Xo+Yo = Mo*2

or M suit la même loi que Mo et du fait de l'unicité des lois (l'espace de définition de X+Y n'étant pas défini il est donc considéré comme infini ;-))

Il reste à faire tendre Yo vers Xo et Y vers X cela est possible puisque X+Y suit la même loi que Xo+Yo.

Mais peut-être ai-je tout faux ?

@melpomène : c'est une évidence qu'il y a une infinité de factorisations. J'imagine qu'Adrien sous-entend une factorisation où chaque polynôme définit une fonction génératrice d'une loi à support dans $\{1,...,6\}$.

Il ne peut pas y avoir de problème puisque ce polynôme résulte justement du produit de deux polynômes de degré $6$ qui sont des fonctions génératrices. Le polynôme donné par Poirot est trivialement déjà un carré d'un polynôme de degré $6$ fonction génératrice de la loi uniforme. La question est de voir si une autre factorisation en produit de fonctions génératrices est possible. Ou alors de trouver une autre solution pour répondre au problème initial.

@francois2a : ce que tu racontes est incompréhensible.

Comme dit plus haut, il s'agit de voir si ce polynôme peut s'écrire comme le produit de deux polynômes qui sont des fonctions génératrices de variables aléatoires à valeurs dans $\{1, \dots, 6\}$, donc des polynômes de la forme $$P(t) = a_1t + \dots + a_6t^6,$$ avec $a_1 + \dots + a_6 = 1$, c'est-à-dire $P(1)=1$. Soient $P, Q$ deux tels polynômes, $a_i$ les coefficients de $P$, $b_i$ les coefficients de $Q$. Alors pour tout $n \in \{2, \dots, 12\}$, le coefficient devant $t^n$ de $\frac{1}{36}(t+t^2+t^3+t^4+t^5+t^6)^2$ doit être égal à $$\sum_{k=1}^n a_kb_{n-k}.$$ En particulier on doit avoir $a_1b_1 = \frac{1}{36}$.

Il est facile de voir que pour chaque $6$-uplet $(a_1, \dots, a_6) \in [0, 1]^6$ avec $a_1 \neq 0$, on peut définir de proche en proche un unique $6$-uplet $(b_1, \dots, b_6)$ satisfaisant la convolution au-dessus. Il faut en plus imposer les conditions $a_1 + \dots + a_6 = b_1 + \dots + b_6 = 1$, je ne vois pas comment montrer que cela impose l'unicité.

En regardant les moments on obtient un problème linéaire, mais il faudrait d'abord s'assurer que les moments permettent de caractériser la loi en question.

Une autre manière de procéder serait de regarder les facteurs irréductibles dans $\mathbb R[X]$ de notre polynôme, et de voir que le seul produit entre ces facteurs qui fournit la condition $P(1)=1$ est le produit $\frac{1}{6}(t+t^2+t^3+t^4+t^5+t^6)$.

Mais justement, il y a plusieurs produits de polynômes de degré 6 possibles ... en échangeant un t et un (t+1).

Cordialement.

@gerard0 : mais en échangeant un facteur $t$ et un facteur $t+1$ on ne conserve pas la condition $P(1)=1$, qui est nécessaire pour être la fonction génératrice d'une variable aléatoire. En fait il y a aussi pour condition que les coefficients sont tous dans $[0, 1]$, mais c'est plus difficile à lire juste avec les facteurs irréductibles.

Bonjour,
On peut recourir à l'argument algébrique suivant, où intervient le caractère factoriel de $\R[X]$:
Je note respectivement $t\longmapsto P(t), t\longmapsto Q(t)$ les fonctions génératrices des variables $X,Y$.

Alors $P,\: Q \in \R_6[t]$ et $\:\:36\:P(t)Q(t)=\displaystyle \left(\sum_{k=1}^6 t^k\right)^2= t^2(t+1)^2 (t^2+t+1) ^2(t^2-t+1)^2. \:\:\:(\star)$

$P$ et $Q$ sont à coefficients positifs et $ \:\:\text{deg} (P) = \text {deg}(Q) =6$. $\: P(0) =Q(0)=0$ et ainsi, $P$ et $Q$ sont divisibles par $t$ et non divisibles par $t^2$.

Donc $P$ et $Q$ doivent posséder un autre diviseur irréductible dans $\R[t]$ de degré impair qui, d'après $(\star)$, ne peut être que $t+1$.

$t(t+1) (t^2-t+1)^2 $ est un polynôme de degré $6$ dont les coefficients n'ont pas un signe constant, donc il ne divise ni $P$ ni $Q$ dans $\R[t]$. Il s'ensuit qu'à une constante multiplicative près, $P$ et $Q$ sont égaux à $t(t+1)(t^2+t+1)(t^2-t+1)$.
De plus $P(1) = Q(1) =1$, donc $P(t) = Q(t) = \dfrac 16 (t^6+t^5+t^4+t^3+t^2+t), $ ce qui exprime le caractère uniforme de $X$ et $Y$.