Convergence en proba d'une suite

En réalité, la preuve classique que tu mentionnes montre que ta suite (notons-là $X_n$) converge partout, donc presque partout vers $X$.
Le petit bout qui te manque donc est le fait que la convergence presque sûre entraîne la convergence en probabilité.

Soit $\varepsilon > 0$. Comme pour tout $\omega \in \Omega$, la suite $\left(\frac{\lfloor nX(\omega)\rfloor}{n}\right)_n$ converge vers $X(\omega)$, il existe un rang $n_0 \in \mathbb N$ tel que pour tout entier $n \geq n_0$, $$\left|X(\omega) - \frac{\lfloor nX(\omega)\rfloor}{n}\right| < \varepsilon.$$ En particulier, pour tout entier $n \geq n_0$, l'événement $$\left\{\left|X - \frac{\lfloor nX\rfloor}{n}\right| > \varepsilon\right\}$$ est vide, donc de probabilité nulle.

Cela prouve bien qu'il y a convergence en probabilité, de manière très forte puisque la suite des probas qui est censée tendre vers $0$ est en fait égale à $0$ à partir d'un certain rang !

La difficulté quand la convergence est seulement presque sûre par rapport au cas précédent, c'est que l'événement $$\left\{\left|X - X_n\right| > \varepsilon\right\}$$ n'a aucune raison d'être vide, ni même de mesure nulle pour $n$ suffisamment grand. En effet, on n'a pas uniformité dans le "vitesse de convergence". Ainsi, pour un certain $\omega$ on pourrait avoir $|X(\omega) - X_n(\omega)| \leq \varepsilon$ pour tout $n$ supérieurs à un certain $n_0$, mais pour un autre, le $n_0$ en question devra peut-être être choisi différemment.