Équivalence de marches aléatoires
Bonsoir
J'ai deux marches aléatoires symétriques $S^1$ et $S^2$ :
$\triangleright~$ l'une, $S^1$, fait un pas -1 ou +1 avec une probabilité 1/2,
$\triangleright~$ et l'autre, $S^2$, fait un pas -1 ou +1 avec une probabilité $p$ mais peut aussi faire un pas de 0 avec une probabilité de $1-2p$.
Soit $T_1$ un temps d'arrêt pour la première marche aléatoire, et $T_2$ un temps d'arrêt pour la deuxième. Ces temps d'arrêts sont conditionnés de la même façon, c'est le nombre minimum de pas à effectuer pour atteindre une valeur $s \in \mathbb{N}$. Existe-t-il un théorème qui dit que $$
E(T_2)=\frac{1}{1-2p}E(T_1)\quad ?
$$ Ce résultat est-il évident ?
Je vous remercie pour vos réponses.
Gimli
J'ai deux marches aléatoires symétriques $S^1$ et $S^2$ :
$\triangleright~$ l'une, $S^1$, fait un pas -1 ou +1 avec une probabilité 1/2,
$\triangleright~$ et l'autre, $S^2$, fait un pas -1 ou +1 avec une probabilité $p$ mais peut aussi faire un pas de 0 avec une probabilité de $1-2p$.
Soit $T_1$ un temps d'arrêt pour la première marche aléatoire, et $T_2$ un temps d'arrêt pour la deuxième. Ces temps d'arrêts sont conditionnés de la même façon, c'est le nombre minimum de pas à effectuer pour atteindre une valeur $s \in \mathbb{N}$. Existe-t-il un théorème qui dit que $$
E(T_2)=\frac{1}{1-2p}E(T_1)\quad ?
$$ Ce résultat est-il évident ?
Je vous remercie pour vos réponses.
Gimli
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Réponses
$T_2=\sum_{k=1}^{T_1} Y_i$, où $Y_i$ est une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramètre $2p$, donc le résultat vient avec la formule de Wald.
Par contre, s'il s'agit de la marche symétrique sur $\Z$, les deux membres de l'équation valent l'infini. Si tu veux, un truc sympa, il faut biaiser les marches.
Je n'ai pas saisi ce qu'est $T_1$, c'est $\{\min k; S_k =s\}$? Car alors cette variable aléatoire a une espérance infinie.
La marche est bien sur $\mathbb{Z}$.
Vous avez raison, j'ai oublié de préciser que les temps étaient bornés. Soit $B > 0$. Donc $T_1=\min\{\{\min k\; t.q. S^1_k=s\},B\}$ et $T_2=\min\{\{\min k\; t.q. S^2_k=s\},B\}$.
À propos, si une marche fait des pas de -1, 0 et +1, on est bien sur $\mathbb{Z}$ non ? Du coup je n'ai pas compris ta remarque aléa.
Étant donné des temps $T_1$ et $T_2$ définis de la même façon, j'arrive à imaginer que leurs espérances valent l'infini, mais n'y a-t-il pas une relation entre les deux ? Après tout $S_2$ évolue plus lentement que $S_1$.
Je pense avoir compris. Du coup on peut exprimer $T_2$ en fonction de $T_1$, non ?
Ce serait donc $E(T_2)=\frac{1}{2p}E(T_1)$ ?
J'ai modifié un peu les notations.
Merci pour votre aide
Gimli
Si on est sur $\Z$, il faut faire $+1$ avec proba $q>1/2$, $-1$ avec proba $1-q$, et dans le deuxième modèle
$1$ avec proba $pq$, $-1$ avec proba $p(1-q)$, $0$ avec proba $1-p$.
Pour $s\ge 1$, on a alors $E[T_2]=\frac1{p}E[T_1]<+\infty$.
À propos, aurais-tu une référence pour le cas de l'espérance finie ? Je connais peu de choses sur les processus aléatoires.
Merci encore,
Gimli