Probabilité conditionnelle

iotala
iotala
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour,

J'ai une question qui me torture le cerveau. Voici ci-joint un arbre de probabilité pondéré.
Je constate que $P_A(B) = 0,2$. Mais qu'en est il de $P_B(A)$ ?
D'un point de vue purement mathématiques, je peux le calculer :

$P(A\cap B) = 0,3 \times 0,2 = 0,06$
$P(\bar A\cap B) = 0,7 \times 0,6 = 0,42$

D'où $P(B) = 0,06 + 0,42 = 0,48$
J'en déduis que $P_B(A) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac{0,06}{0,48} = 0,125$

Mais $P_B(A)$ a-t-il vraiment du sens car A ne dépend pas de B sur l'arbre ? Doit-on plutôt répondre impossible ? Ou bien comme A ne dépend pas de B, ne devrait on pas avoir $P_B(A) = P(A)$ ???

Merci de votre aide...84082

Réponses

  • Dom
    Dom
    Si j'ai bien compris, je tente une vulgarisation : $P_B(A)$ est la probabilité qui calcule la chose suivante.

    "A la fin de l'expérience, j'ai quatre possibilités $(A,B)$, $(\bar A,B)$, $(A,\bar B)$, $(\bar A,\bar B)$.
    Quelqu'un joue à ce jeu et (on sait qu') il a obtenu $B$, c'est à dire $(A,B)$ ou $(\bar A,B)$.
    $P_B(A)$ est la probabilité qu'il ait obtenue $(A,B)$".
  • iotala
    iotala
    Bonjour,

    Je ne suis pas sûr de comprendre : suggères tu que $P_A(B)=P_B(A)$ ?
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour Iotala.

    Comme tu n'as pas donné de signification à ton arbre, je ne sais pas si les branches correspondent à des successions causales (la branche est causée par ce qui se passe à son origine), ou simplement descriptive (on aurait pu inverser l'ordre sans aucune difficulté).
    Dans le premier cas, l'explication de Dom est la bonne, et est très utilisée dans les analyse de fiabilité, ou dans les recherches de causes (accidents d'avion, par exemple). Dans le deuxième (jet d'un couple de dés, un vert, un rouge, probabilité que le dé vert soit pair sachant que le total des deux dés vaut 9, par exemple), il est facile de faire un autre arbre "pour voir".
    Mais dans tous les cas, calculer des probabilités conditionnelles avec comme idée un arbre est une mauvaise idée, qui cache l'idée de base : Connaissant une expérience probabiliste, donc un univers U avec une loi de probabilité sur ses événements (*), on s'intéresse à la loi de probabilité naturelle sur un événement A ($A\subset U)$ obtenue en se restreignant à l'univers A. Cette loi est naturelle (s'il y a équiprobabilité, on retrouve une équiprobabilité) et intuitive (c'est l'idée de "sachant que A s'est produit). Il n'est question que d'événements, pas de succession d'événements. Et donc calculer $P_A(B)$, ou bien $P_B(A)$ n'est en aucun cas un problème philosophique.

    Cordialement.


    (*) Je laisse de côté la question de qui sont les événements si l'univers n'est pas fini.
  • gerard0
    gerard0
    Attention Dom,

    les résultats finaux sont des $A\cap B, A\cap \bar B$, etc.

    Cordialement.
  • gerard0
    gerard0
    Iotala,

    où as-tu vu qu'il parlait d'une égalité ? Je crains que cette représentation en arbres te fausse le jugement.

    Cordialement.
  • Dom
    Dom
    Oui Gérard,

    Mais finalement, c'est "isomorphe" au jet de deux pièces (non équilibrées) :
    - avec sur la première pièce, un A sur une face et "pas A" sur l'autre face.
    - avec sur la seconde pièce, un B sur une face et "pas B" sur l'autre face.
    Dans ce cas on a bien des couples.


    @iotala
    Non, pas du tout, je ne suggère pas cette égalité.
  • gerard0
    gerard0
    Heu ... dans un arbre pondéré il n'y a pas nécessairement indépendance. D'ailleurs il parle bien de probas conditionnelles.

    Cordialement.
  • Dom
    Dom
    Oui, ce qui est foireux dans mon histoire, c'est que la deuxième pièce "B" n'est pas la même selon qu'on obtient A sur la première ou "pas A". Y'a deux pièces "B" 8-)(:D
  • iotala
    iotala
    Merci à tous de vos réponses, je pense qu'effectivement je me suis laissé abuser par la représentation sous forme d'arbre sans prendre en considération l'aspect de causalité. Cet arbre, je l'ai trouvé dans un livre de terminal sans plus d'indications et un gros doute m'a alors envahi.

    Bonne soirée à tous.
  • gerard0
    gerard0
    L'intuition est mieux servie par une représentation ensembliste à base de "patates", où chaque événement (donc sous-ensemble de l'univers U) est représenté par une zone du plan. Passer à la probabilité conditionnée par A est simplement regarder ce qui se passe dans A pour les traces des événements dans la patate A.
    Je viens de regarder la première page de Google sur "probabilité conditionnelle". On trouve presque partout seulement des arbres (programmes de lycée oblige) sauf sur ce site (ignorer l'annonce avec "plus tard") où il y a une représentation en patates. Il y en a une aussi sur une vidéo, mais tellement incomplète qu'elle ne sert à rien !!
    C'est lamentable !!
  • Dom
    Dom
    On peut voir cela aussi avec un tableau à double entrée.
    A : femme,
    NonA : homme
    B: manger sur place
    NonB: manger à l’extérieur.

    Le tableau de quatre cases est bien évidemment une représentation du diagramme en patates dont parle Gérard.
  • gerard0
    gerard0
    L'inconvénient du tableau carré, c'est qu'il représente la proportion de femmes qui mangent sur place comme égale à celle des hommes qui mangent sur place : les case sont de la même hauteur dans une ligne, et de la même largeur dans une colonne. Or ça, c'est la caractéristique de l'indépendance.

    Faire des représentations explicatives nécessite de ne pas trop utiliser des cas particuliers. Raisonner sur des quadrilatères en y mettant toujours des côtés perpendiculaires ne forme pas bien à raisonner sur les parallélogrammes.
    Et passer tout de suite aux arbres pondérés, voire même introduire les probas conditionnelles par eux (*) ne permet pas de montrer de façon simple de quoi il s'agit (ne reste que l'intuition de "sachant que").

    Cordialement.

    (*) c'est idiot, dans un arbre pondéré, il y a déjà des probas conditionnelles. Pourtant ça se voit !!!
  • Dom
    Dom
    Oui, c’est vrai. Assez d’accord.

    En fait chaque représentation a son intérêt (parfois très modeste).
    D’ailleurs ce que je propose dans mon dernier message n’est pas une chose de probabiliste mais plutôt une représentation dans une revue informative d’entreprises ou autres. Un schéma synthétique qui dit tout en un coup d’œil.
    Aussi, mon truc tient plutôt de la sémantique « fréquence/proportion » que de « probabilité ».
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