Probabilité

Je trouve le même résultat. C'est qu'il est sans doute correct...
Reste à vérifier que cette fonction de répartition est croissante, et à trouver espérance et variance.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
[size=x-small]Je pense à vous ce soir, ô morts de février[/size]

Pour l'espérance, il y a la formule : $E(Z)=\int\nolimits_{0}^{\frac{1}{2}}(1-F_{Z}(z))dz$, où $F_Z$ est la fonction de répartition ci-dessus. C'est faisable en primitive élémentaire mais le cœur me manque.
Pour la variance il y a sans doute une formule analogue qui évite de redescendre à la densité, mais c'est pour les très courageux, ou bien les esclaves électroniques modernes.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

En effet, la densité donnée par rebellin est bien la dérivée de la répartition précédente, et elle montre bien que celle-ci est croissante.
Pour suivre rebellin, nous dirons que tout le monde a violé la charte, mais moi aussi j'ai trouvé ce calcul intéressant. J'aurais pu le poser en colle en BCPST mais c'est fini tout ça. Peut-on peut le traiter sans intégrale double, pour ECS ?
Reste à savoir si le simple énoncé du résultat satisfait le questionneur initial, qui pourrait nous le dire...
Bonne soirée.
Fr. Ch.

@ skyffer3
Moi c'est une méthode ras-des-pâquerettes.
Je cherche d'abord l'ensemble-image de $Z=\frac{XY}{X+Y}$. J'ai d'abord cru que c'était $[0,1]$ et puis je me suis aperçu que c'était $[0,\frac 12]$.
Pour $z\in \lbrack 0,\frac{1}{2}]$, j'écris : $P(Z\leq z)=\iint\nolimits_{D(z)}dxdy$, où $D(z)=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}|0\leq x\leq 1,0\leq y\leq 1,\frac{xy}{x+y}\leq z\}$.
C'est parce que la loi conjointe de $(X,Y)$ est uniforme sur $[0,1] \times [0,1]$, et donc la densité conjointe est $1$.
En fait cette intégrale double est l'aire du domaine plan $D(z)$, qui est une sorte de pentagone mixtiligne délimité par des segments de droites et un arc d’hyperbole équilatère, et son aire se calcule avec une intégrale simple.
Et beaucoup de calculs avec beaucoup d'occasions de fautes de calcul, d'où mon retard par rapport aux camarades plus doués.
Je peux préciser encore si ça ne suffit pas, mais ce sera demain 6 février.
Bonne nuit.
Fr. Ch.

Pourrait-on se poser le même problème pour deux variables aléatoires iid suivant la même loi exponentielle ?
J'ai cherché et à un moment je tombe sur une intégrale $\int_{0}^{+\infty }e^{-t-\frac{a}{t}}dt$, $a>0$, et Wolfram alpha me dit que ça se ramène à une fonction de Bessel modifiée de seconde espèce $K_1$. Qu'es aquò ?
Bonne journée.
Fr. Ch.