Convergence en loi
Bonjour
Je lis ceci dans un cours et je ne comprends pas.
Soit (Xn) une suite de variables suivant la loi uniforme continue sur [0;n]
On montre que pour tout x réel la lim lorsque n tend vers l’infini des répartitions des Xn est nulle (ok je suis).
Constater que la fonction nulle n’est pas une fonction de répartition est insuffisant pour conclure que Xn ne converge pas en loi.
Après on montre que l’ensemble des discontinuités d’une fonction croissante est dénombrable puis on fait un raisonnement par l’absurde pour montrer que Xn converge pas en loi.
Je ne comprends pas la remarque (2), c’est ce que j’aurais écrit dans un ds comme réponse.
De l’aide svp ??
Merci d’avance.
Je lis ceci dans un cours et je ne comprends pas.
Soit (Xn) une suite de variables suivant la loi uniforme continue sur [0;n]
On montre que pour tout x réel la lim lorsque n tend vers l’infini des répartitions des Xn est nulle (ok je suis).
Constater que la fonction nulle n’est pas une fonction de répartition est insuffisant pour conclure que Xn ne converge pas en loi.
Après on montre que l’ensemble des discontinuités d’une fonction croissante est dénombrable puis on fait un raisonnement par l’absurde pour montrer que Xn converge pas en loi.
Je ne comprends pas la remarque (2), c’est ce que j’aurais écrit dans un ds comme réponse.
De l’aide svp ??
Merci d’avance.
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Réponses
C'est pour ça qu'il faut un peu plus de travail, puisqu'il te manque des points.
J'imagine que tu utilises la définition suivante (en vigueur en EC):
Soit $(\Omega,\mathcal{T},\mathbb{P})$ un espace probabilisé.
Soit $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires définies sur $(\Omega,\mathcal{T},\mathbb{P})$.
Soit $X$ une variable aléatoire définie sur $(\Omega,\mathcal{T},\mathbb{P})$.
On dit que $(X_n)_{n\in\N}$ converge en loi vers $X$ si, pour tout réel $x$ en lequel $F_X$ est continue,
$$\lim\limits_{n\to +\infty}F_{X_n}(x)=F_X(x)$$
Dans ce qui suit, on suppose que:
$$\forall x\in\R,~\lim\limits_{n\to +\infty}F_{X_n}(x)=0$$
On souhaite alors montrer que $(X_n)_{n\in\N}$ ne converge pas en loi.
On admet dans ce qui suit les deux résultats suivants, que l'on pourra librement utiliser:
Théorème $1$: Une fonction de la variable réelle à valeurs réelles monotone sur $\R$ admet un nombre au plus dénombrable de points de discontinuité ;
Théorème $2$: Tout intervalle de $\R$ non vide et non réduit à un point n'est pas dénombrable.
On raisonne par l'absurde et on suppose que l'on dispose d'une variable aléatoire $X$ telle que $(X_n)_{n\in\N}$ converge en loi vers $X$.
On note $C_X$ l'ensemble des points de continuité de $F_X$.
1) Justifier que $F_X$ ne présente qu'un nombre au plus dénombrable de points de discontinuité.
2) En raisonnant par l'absurde, montrer que $C_X$ contient des points arbitrairement grands, autrement dit que:
$$\forall M\in\R,~C_X\cap [M,+\infty[\neq\emptyset$$
3) Montrer, en utilisant une propriété des fonctions de répartition, que:
$$\exists x_0\in\R,~\forall x\geqslant x_0,~F_X(x)\geqslant \dfrac{1}{2}$$
4) En déduire une contradiction. Conclure.
Bien cordialement,