Fonction génératrice et loi

Bonjour
Je cherche à résoudre le problème suivant.

Soit $X$ une v.a.r. à valeurs dans $\mathbb{N}$ dont la fonction génératrice est définie sur $[-1,1]$ par $$G_X(t)=\frac{t^2}{2-t^2}$$ Quelle est la loi de $X$.

Je sais que $G_X^{(n)}(0)=n! \mathbb{P}(X=n)$ j'ai donc calculé les dérivées suivantes.

$G_X'(t)=4t(2-t^2)^{-2}$

$G_X''(t)=4(2-t^2)^{-2} + 8t^2(2-t^2)^{-3}$

$G_X'''(t)=24t(2-t^2)^{-3} +48t^3(2-t^2)^{-4}$

J'en ai déduit que $\mathbb{E}[X]=4$ et que $\mathbb{P}(X=2)=\frac{1}{2}$ mais ma méthode (dériver jusqu’à ce que la somme des probas donne 1) ne me parait pas très productive. Je ne pense pas que ce soit la bonne.

Voyez-vous un moyen plus simple, plus général ou tout simplement une autre méthode pour parvenir à la solution ?
Merci d'avance.