Les événements $\left\{\left(X=i\right)\cap \left(Y=j\right)\right\}_{(i,j)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}$ réalisent une partition de l'univers, donc $$\sum\limits_{(i,j)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}P\left[\left(X=i\right)\cap \left(Y=j\right)\right]=1.$$
On calcule la somme double en la réécrivant sous la forme $\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\sum\limits_{i+j=n}\cdots.$ Cela permet de trouver $a.$
Réponses
Les événements $\left\{\left(X=i\right)\cap \left(Y=j\right)\right\}_{(i,j)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}$ réalisent une partition de l'univers, donc $$\sum\limits_{(i,j)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}P\left[\left(X=i\right)\cap \left(Y=j\right)\right]=1.$$
On calcule la somme double en la réécrivant sous la forme $\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\sum\limits_{i+j=n}\cdots.$ Cela permet de trouver $a.$
(Pour info je trouve $a=\text{e}^{-1}.$)
amicalement bonne soirée. S_U