Loi 0-1 de Kolmogorov

Salut, j'aimerai avoir votre aide, s'il vous plaît concernant cet exercice.

On considère un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}).$
Soit $(X_n)_{n}$ une suite indépendante de v.a.r. et de même loi. On suppose qu'il existe une suite $(x_n)_n$ de réels tels que : $$
\mathbb{P}(\limsup_n\left|\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}{X_k}-x_n\right| <+\infty)>0.

$$ a) Prouver qu'il existe $\alpha \in \mathbb{R}_+$ tel que $\limsup_n\left|\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}{X_k}-x_n\right|=\alpha, \ \ p.s$

b) Soit $(Y_n)_n$ une copie indépendante de $(X_n)_n$ et $V_n=X_n-Y_n.$ Prouver que :
i) $\limsup_n\left| \frac{1}{n}V_n\right|<+\infty,$ presque sûrement.
ii) il existe $\beta \in \mathbb{R}_+$ tel que $\limsup_n\left| \frac{1}{n}V_n\right|=\beta, \ p.s.$
iii) $\sum_n{\mathbb{P}(\left|V_n \right|>n(1+\beta))}<+\infty \text{ et } \mathbb{E}(\left|V_1 \right|) <+\infty$

c) Soit $(H_n)_n$ une suite indépendante de v.a.r et de même loi avec $\mathbb{E}(\left|H_1 \right|) =+\infty.$
Prouver que, pour toute suite $(x_n)_n$ de réels, $\limsup_n\left|\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}{H_k}-x_n\right| =+\infty, \ \ p.s.$

Pour la solution.
a) On applique la loi 0-1 de Kolmogorov à $\limsup_n\left|\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}{X_k}-x_n\right|$ (On considère la suite de tribu indépendantes $(\sigma(X_n))_n$ et on prouve qu'elle est constante en utilisant le fait que sa fonction de répartition ne prend que 0 et 1 comme valeurs).

b) i) Pouvez-vous me donner une indication ?
ii) Comme dans a) en appliquant la loi 0-1 à $\limsup_n|\frac{1}{n}V_n|$ (Dans ce cas on considère la suite de tribu indépendante $(\sigma(\frac{1}{n}V_n))_n$ puisque $(X_n)_n$ est indépendante de $(Y_n)_n$)
iii) On a : $$
1=P(\limsup_n \frac{1}{n}V_n=\beta) \leq P(\limsup_n \frac{1}{n}V_n<\beta+1) \leq P(\liminf_n \left\{\frac{1}{n}V_n \leq \beta+1 \right\}).
$$ Donc $P(\limsup_n\left\{\frac{1}{n}V_n >\beta+1\right\})=0$ et par Borel-Cantelli, on aura la convergence de la série puis l'intégrabilité de $V_1$
($X_1$ et $Y_1$ sont de même loi)

c) C'est la contraposée de la partie b)
Alors j'aimerai avoir l'aide pour b) i) et j'espère que les autres questions sont correctes.
Merci d'avance.