Série génératrice et équation différentielle

Bonjour,

Un petit exercice sur lequel je sèche :
Une variable aléatoire discète $X$, à valeurs dans $\N$, dont la série génératrice $G$ a un rayon $R>1$, et vérifie :
$$\forall x,y\in\R, x^2+y^2<R^2, G(x)G(y)=\frac12G\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$$

a) Déterminer $G(0)$.
$G(0)=\frac12$ en appliquant la relation au couple $(x,y)=(1,0)$ avec $G(1)=1$.

b) Montrer que : $\forall k\in\N, P(X=2k+1)=0$.
$G$ est paire, puis propriété des séries entières...

c) Montrer que $G$ est solution d'une équation différentielle d'ordre 1,
dont on exprimera les coefficients en fonction de $x$ et $G'(1)$. En déduire $G$, $E(X)$ et $V(X)$.
Là, je bloque...

Merci pour toute aide.