Accroissements indépendants et stationnaires
Bonjour,
Soit $(X_t)_{t \in \mathbb{R}^{+}}$ un processus à valeurs réelles.
On note $(\mathcal{F}_t)_{t \in \mathbb{R}^{+}}$ sa filtration canonique.
On suppose que $X_0 = 0$ et que $\forall t, s \geq 0$, $X_{t + s} - X_s$ est indépendant de $\mathcal{F}_s$ et égal en loi à $X_t$.
Je cherche à montrer que pour $a > 0$ fixé, $\forall n \in \mathbb{N}$, $\forall 0 \leq t_1 < ... < t_n$, les vecteurs $(X_{t_1 + a} - X_a, \dots, X_{t_n + a} - X_a)$ et $(X_{t_1}, \dots, X_{t_n})$ ont même loi.
Il suffit pour cela de montrer que la famille $(X_{t_1 + a} - X_a, \dots, X_{t_n + a} - X_a)$ est indépendante mais je ne vois pas comment procéder.
Comment faire?
Soit $(X_t)_{t \in \mathbb{R}^{+}}$ un processus à valeurs réelles.
On note $(\mathcal{F}_t)_{t \in \mathbb{R}^{+}}$ sa filtration canonique.
On suppose que $X_0 = 0$ et que $\forall t, s \geq 0$, $X_{t + s} - X_s$ est indépendant de $\mathcal{F}_s$ et égal en loi à $X_t$.
Je cherche à montrer que pour $a > 0$ fixé, $\forall n \in \mathbb{N}$, $\forall 0 \leq t_1 < ... < t_n$, les vecteurs $(X_{t_1 + a} - X_a, \dots, X_{t_n + a} - X_a)$ et $(X_{t_1}, \dots, X_{t_n})$ ont même loi.
Il suffit pour cela de montrer que la famille $(X_{t_1 + a} - X_a, \dots, X_{t_n + a} - X_a)$ est indépendante mais je ne vois pas comment procéder.
Comment faire?
Réponses
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Bonjour,
Je crois que ce sont plutôt
$X_{t_1+a}-X_a, X_{t_2+a} - X_{t_1+a}, X_{t_3+a}-X_{t_2+a},\dots$
qui sont mutuellement indépendantes.
Ensuite, le vecteur que tu as écrit dépend linéairement de ces incréments, ce qui détermine sa loi. -
Bonjour Marsup,
Je pensais avoir compris ta réponse il y a 6 semaines mais je me rends compte en écrivant les choses que ce n'est pas le cas.
Notons $Y := \left(X_{t_1 + a} - X_a, X_{t_2 + a} - X_a, \dots, X_{t_n + a} - X_a\right)$ et $Z := \left(X_{t_1 + a} - X_a, X_{t_2 + a} - X_{t_1 + a}, \dots, X_{t_n + a} - X_{t_{n - 1} + a}\right)$.
$Z$ étant mutuellement indépendante, $Z$ a même loi que $\left(X_{t_1}, X_{t_2 - t_1}, \dots, X_{t_n - t_{n - 1}}\right)$.
Puisque $Y = \varphi(Z)$ où $\varphi: \left(x_1, \dots, x_n\right) \mapsto \left(x_1, x_2 + x_1, \dots, x_n + \dots + x_1\right)$, $Y$ a même loi que $\varphi\left(X_{t_1}, X_{t_2 - t_1}, \dots, X_{t_n - t_{n - 1}}\right) = \left(X_{t_1}, X_{t_2 - t_1} + X_{t_1}, \dots, X_{t_n - t_{n - 1}} + \dots + X_{t_2 - t_1} + X_{t_1}\right)$.
Comment montrer à présent que la loi de ce dernier vecteur est bien celle de $\left(X_{t_1}, \dots, X_{t_n}\right)$? -
Tu veux dire : ... ?
$Z := \left(X_{t_1 + a} - X_a, X_{t_2 + a} - X_{t_1 + a}, \dots, X_{t_n + a} - X_{t_{n - 1} + a}\right)$ étant mutuellement indépendante, $Z$.
a même loi que $\left(X_{t_1}, X_{t_2} - X_{t_1}, \dots,
X_{t_n} - X_{t_{n - 1}}\right)$.
au lieu de$Z$ étant mutuellement indépendante, $Z$ a même loi que $\left(X_{t_1}, X_{t_2 - t_1}, \dots, X_{t_n - t_{n - 1}}\right)$. -
Pardon, ok j'avais perdu le fil.
$Z$ étant mutuellement indépendante, $Z$ a même loi que $\left(X_{t_1}, X_{t_2 - t_1}, \dots, X_{t_n - t_{n - 1}}\right)$.
Or $X_{t_2 - t_1}$ a même loi que $X_{t_2} - X_{t_1}$, etc.
Par indépendance mutuelle, le vecteur $\left(X_{t_1}, X_{t_2 - t_1}, \dots, X_{t_n - t_{n - 1}}\right)$ a même loi que
$\left(X_{t_1}, X_{t_2} - X_{t_1}, \dots, X_{t_n} - X_{t_{n - 1}}\right)$. -
Non je voulais bien dire $X_{t_2 - t_1}$ mais on a de toutes façons $X_{t_2} - X_{t_1} = X_{t_2 - t_1}$ en loi ce qui suffit. Merci
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Bonjour!
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