Accroissements indépendants et stationnaires

sevaus
sevaus
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour,

Soit $(X_t)_{t \in \mathbb{R}^{+}}$ un processus à valeurs réelles.
On note $(\mathcal{F}_t)_{t \in \mathbb{R}^{+}}$ sa filtration canonique.
On suppose que $X_0 = 0$ et que $\forall t, s \geq 0$, $X_{t + s} - X_s$ est indépendant de $\mathcal{F}_s$ et égal en loi à $X_t$.

Je cherche à montrer que pour $a > 0$ fixé, $\forall n \in \mathbb{N}$, $\forall 0 \leq t_1 < ... < t_n$, les vecteurs $(X_{t_1 + a} - X_a, \dots, X_{t_n + a} - X_a)$ et $(X_{t_1}, \dots, X_{t_n})$ ont même loi.

Il suffit pour cela de montrer que la famille $(X_{t_1 + a} - X_a, \dots, X_{t_n + a} - X_a)$ est indépendante mais je ne vois pas comment procéder.
Comment faire?

Réponses

  • marsup
    marsup
    Bonjour,

    Je crois que ce sont plutôt
    $X_{t_1+a}-X_a, X_{t_2+a} - X_{t_1+a}, X_{t_3+a}-X_{t_2+a},\dots$
    qui sont mutuellement indépendantes.

    Ensuite, le vecteur que tu as écrit dépend linéairement de ces incréments, ce qui détermine sa loi.
  • sevaus
    sevaus
    Bonjour Marsup,

    Je pensais avoir compris ta réponse il y a 6 semaines mais je me rends compte en écrivant les choses que ce n'est pas le cas.

    Notons $Y := \left(X_{t_1 + a} - X_a, X_{t_2 + a} - X_a, \dots, X_{t_n + a} - X_a\right)$ et $Z := \left(X_{t_1 + a} - X_a, X_{t_2 + a} - X_{t_1 + a}, \dots, X_{t_n + a} - X_{t_{n - 1} + a}\right)$.

    $Z$ étant mutuellement indépendante, $Z$ a même loi que $\left(X_{t_1}, X_{t_2 - t_1}, \dots, X_{t_n - t_{n - 1}}\right)$.

    Puisque $Y = \varphi(Z)$ où $\varphi: \left(x_1, \dots, x_n\right) \mapsto \left(x_1, x_2 + x_1, \dots, x_n + \dots + x_1\right)$, $Y$ a même loi que $\varphi\left(X_{t_1}, X_{t_2 - t_1}, \dots, X_{t_n - t_{n - 1}}\right) = \left(X_{t_1}, X_{t_2 - t_1} + X_{t_1}, \dots, X_{t_n - t_{n - 1}} + \dots + X_{t_2 - t_1} + X_{t_1}\right)$.

    Comment montrer à présent que la loi de ce dernier vecteur est bien celle de $\left(X_{t_1}, \dots, X_{t_n}\right)$?
  • marsup
    marsup
    Tu veux dire : ... ?

    $Z := \left(X_{t_1 + a} - X_a, X_{t_2 + a} - X_{t_1 + a}, \dots, X_{t_n + a} - X_{t_{n - 1} + a}\right)$ étant mutuellement indépendante, $Z$.
    a même loi que $\left(X_{t_1}, X_{t_2} - X_{t_1}, \dots,
    X_{t_n} - X_{t_{n - 1}}\right)$.

    au lieu de
    $Z$ étant mutuellement indépendante, $Z$ a même loi que $\left(X_{t_1}, X_{t_2 - t_1}, \dots, X_{t_n - t_{n - 1}}\right)$.
  • marsup
    marsup
    Pardon, ok j'avais perdu le fil.

    $Z$ étant mutuellement indépendante, $Z$ a même loi que $\left(X_{t_1}, X_{t_2 - t_1}, \dots, X_{t_n - t_{n - 1}}\right)$.

    Or $X_{t_2 - t_1}$ a même loi que $X_{t_2} - X_{t_1}$, etc.

    Par indépendance mutuelle, le vecteur $\left(X_{t_1}, X_{t_2 - t_1}, \dots, X_{t_n - t_{n - 1}}\right)$ a même loi que
    $\left(X_{t_1}, X_{t_2} - X_{t_1}, \dots, X_{t_n} - X_{t_{n - 1}}\right)$.
  • sevaus
    sevaus
    Non je voulais bien dire $X_{t_2 - t_1}$ mais on a de toutes façons $X_{t_2} - X_{t_1} = X_{t_2 - t_1}$ en loi ce qui suffit. Merci
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