Série de va

Tu peux noter que

$\sum_{k=2^i}^{2^{i+1}-1}\frac{1}{k^{\alpha} X_k}\ge \frac1{(2^{i+1})^{\alpha}} \sum_{k=2^i}^{2^{i+1}-1} 1_{\{X_k=1\}}$

Ton intuition est bonne, mais effectivement il reste un peu de travail.

En fait il est possible de montrer que le minorant converge presque sûrement vers une limite non nulle. (penser à la loi des grands nombres).

On peut appliquer la loi des grands nombres mais à une transformée de la somme.
On suppose que les variables aléatoires $(X_{k})_{k\geq1}$ sont indépendantes et suivent une loi géométrique de paramètre $p.$
Par le théorème de transfert, on a : $$\mathbb{E}\big[ \frac{1}{X_{k}} \big]=p\sum_{k\geq 1}\frac{(1-p)^{k-1}}{k}=-\frac{p}{1-p}\ln(p):=l.$$
Ainsi, en notant $\displaystyle S(t)=\sum_{1 \leq k\leq t}\frac{1}{X_{k}},$ la loi des grands nombres nous donne $$\lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{S(t) }{t}=l \mbox{ ps. }$$
Ainsi, par une IPP (ou une transformation d'Abel) en utilisant le formalisme des intégrales de Lebesgue-Stieljes, on a pour $t\gg 1,$
\begin{align*}
A(t) & :=\sum_{1 \leq k \leq t}\frac{X_{k}}{k^{\alpha}}\\
& = \int_{1}^{t} \frac{dS(u)}{u^{\alpha}}\\
& =\Big[ \frac{S(u)}{u^{\alpha}} \Big]_{1}^{t} +\alpha\int_{1}^{t}\frac{S(u)}{u^{\alpha+1}}dt \mbox{ }(*).
\end{align*}

On peut alors commencer la discussion en utilisant la loi des grands nombres citée précédemment et la relation $(*)$.
*ou $\alpha>1:$ et, on a ps : $$\frac{S(u)}{u^{\alpha}}\sim \frac{1}{u^{\alpha-1}}\longrightarrow 0 \mbox{ et } \frac{S(u)}{u^{\alpha+1}}\sim \frac{l}{u^{\alpha}} \mbox{ qui est intégrable au voisinage de } +\infty.$$
Ainsi, $\left( A(n) \right)$ est ps une série convergente.
**ou $\alpha=1:$ et, on a ps: $$\frac{S(u)}{u}\longrightarrow l \mbox{ et } \frac{S(u)}{u^{2}}\sim \frac{l}{u} \mbox{ qui n'est pas intégrable au voisinage de } +\infty.$$
Ainsi, $\left( A(n) \right)$ est ps une série divergente.
***ou $0<\alpha<1:$ et, on a ps: $$\frac{S(u)}{u^{\alpha}}\sim \frac{l}{u^{\alpha-1}}\longrightarrow +\infty \mbox{ et } \frac{S(u)}{u^{\alpha+1}}\sim \frac{l}{u^{\alpha}}\mbox{ qui n'est pas intégrable au voisinage de } +\infty.$$
Finalement, $\left( A(n) \right)$ est ps une série divergente.